Дана трапеция авсd с основаниями ad и bc. известно, что ас=4, bd=5 и уголcad=2угла bda. найдите длину средней линии трапеции

авсд- трапеция, bfи   ck -перпендикуляры к ад.   ас=4,вд=5,   < сад=2< вда;

< вда=α,тогда < сад=2α, mn-средняя линия трапеции. mn=(ad+bc)/2.

δakc, < k=90⁰,ak=accos2α=4cos2α. 

δbfd, < f=90⁰,fd=bdcosα=5cosα;

bc=x,   ad=af+fk+kd;   af=ak-fk=ak-bc= 4cos2α-x   ,fk=bc=x, kd=fd-fk=5cosα-x.

ad=4cos2α-x+x+5cosα-x=4cos2α+5cosα-x.

mn=(4cos2α+5cosα-x+x)/2=(4cos2α+5cosα)/2 

. 

Плоский угол при вершине пирамиды- это угол при вершине боковой грани, противолежащей стороне при основании пирамиды.

Так как пирамида правильная, то боковые рёбра равны треугольник боковой грани равнобедренный, а учитывая то, что угол при его вершине равен 60°, он ещё и правильный, то есть равносторонний, значит все рёбра пирамиды равны.

Высота пирамиды имеет основание в центре описанной окружности около основания пирамиды.

Пусть сторона основания (ребро пирамиды) равна а, тогда R=a/√3.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, её боковым ребром и радиусом описанной около основания окружности:

a²=R²+h²,

a²=a²/3+4²,

a²-16=a²/3,

3а²-48=а²,

2а²=48,

а²=24.

Площадь боковой грани: S=a²√3/4=24√3/4=6√3 см².

Площадь боковой поверхности: Sб=3S=18√3 см² - это ответ. 

Итак, если два угла равны, то треугольник равнобедренный.

Осталось найти третью сторону.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Допустим, боковая сторона равна 25 см, тогда 25 см+25 см > 40 см ;

40 см+25 см > 25 см ; 40 см+25 см > 25 см.

Теперь пусть боковая сторона равна 40 см. Тогда 40 см+40 см > 25 см ; 40 см+25 см > 25 см ; 40 см+25 см > 25 см.

Тогда, в первом случае периметр равен 25см+25см+40см = 90см, а во втором 40см+40см+25см = 105 см.

ответ: 105 см или 90 см.