Найдите площадь прямоугольника dekc, если kc=6см и dk=10см.

Δ DKC - прямоугольный
По теор. Пифагора:
DC=√(DK²-KC²)=√(10²-6²)=√64=8(cм)
S=6*8=48(cм²)

Вот пришло в голову решение :) Так-то задачка ерундовая :)
Я продлеваю перпендикуляры HK и HM за точку H до пересечения с BA в точке A1 и BC в точке C1 (ну, точки лежат на продолжениях... из за того, что ∠ABC острый, эти точки есть и лежат где положено :) )
Для треугольника A1BC1 H - точка пересечения высот (ну двух-то точно :) - A1M и C1K), поэтому A1C1 перпендикулярно BH, и, следовательно, параллельно AC;
то есть ∠BAC = ∠BA1C;
Точки K и M лежат на окружности, построенной на A1C1, как на диаметре, поэтому
∠BA1C + ∠KMC = 180°; как противоположные углы вписанного четырехугольника. Или, что же самое, ∠BA1C = ∠BMK;
следовательно ∠BAC = ∠BMK; 
и треугольники ABC и BMK имеют равные углы. То есть, подобны.

Следствие, которое важнее задачи :) Четырехугольник AKMC - вписанный. То есть через эти 4 точки можно провести окружность.

Дополнение. Тривиальный решения тут такой.
∠KHB = ∠A; ∠MHB = ∠C;
BK =  BH*sin(A) = BC*sin(C)*sin(A);
BM = BH*sin(C) = BA*sin(A)*sin(C);
То есть у треугольников ABC и MBK угол B общий, и стороны общего угла пропорциональны BM/BA = BK/BC = sin(A)*sin(B); значит треугольники подобны.
коэффициент подобия sin(A)*sin(C), что тоже полезное следствие.

Нужен единичный отрезок. Может быть получен делением отрезка по теореме Фалеса.

1) Гипотенуза треугольника с катетами 1 и 2 равна √5 (по теореме Пифагора)

2) Высота из прямого угла есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу, h=√(AD*DB)

- достраиваем к отрезку AD=5 отрезок DB=1 на одной прямой

- строим окружность на гипотенузе AB

- строим перпендикуляр к AB из точки D

- пересечение перпендикуляра и окружности - C

Вписанный угол ACB - прямой, так как опирается на диаметр. CD - высота из прямого угла.

CD =√(AD*DB) =√(5*1) =√5