Есть ли логические ошибки в следующем определении: средняя линия треугольника-это отрезок соединяющий середины двух его сторон

 ошибок нет
Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.

Всё правильно,ошибок нет

Длины отрезков, соединяющие середины ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ сторон, заданы в условиии. 

В самом деле, треугольники, образованные диагоналями и основаниями, очевидно подобны, то есть их стороны относятся, как основания. Раз диагонали равны, то равны и отрезки этих диагоналей от вершин до точки пересечения, то есть это равнобедренные треугольники, с равными улами при основаниях, а это означает, что треугольники, образованные (например) большим основанием, боковой стороной и диагональю, равны по двум сторонам и углу между ними. 

Поэтому трапеция, у которой диагонали равны - равнобедренная.

Раз так, то отрезок, соединяющий середины оснований - это попросту высота, по условию это 8. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон - это средняя линяя, она равна 8.

Остается найти длину отрезков, соединяющих середины соседних сторон. Для этого надо найти длину диагонали.

Проводится высота из вершины малого основания, получается прямоугольный треугольник с катетами 8 (это высота) и 8 - это часть большого основания. В самом деле, от ближайшего конца большого основания до конца проведенной высоты 

(9 - 7)/2 = 1, поэтому до другого конца 9 - 1 = 8.

Диагональ - гипотенуза в этом треугольнике, она равна 8*корень(2).

Длина отрезка, соединяющего середины соседних сторон, равна половине диагонали - как средняя линяя в треугольнике, образованном диагональю и двумя сторонами трапеции. То есть она равна 4*корень(2).

Ясно, что такая длина у всех четырех отрезков, соединяющих середины любой пары соседних сторон. Поэтому эти отрезки образуют ромб. Однако в данной задаче это не просто ромб, а квадрат, поскольку высота равна средней линии. :) 

Рассмотрим отношение площадей двух квадратов. Если сторону одного квадрата обозначим через т, а сторону другого — через п, то площади будут соответственно равны
т2 и п2

Обозначив площадь первого квадрата через S, а  площадь  второго  через S',   получим: S/S' = m2/n2 ,   т.  е.   площади квадратов относятся  как квадраты их сторон.

Полученную формулу можно преобразовать так: S/S' =  ( m/n)2 .

Значит, можно  сказать,  что отношение площадей двух квадратов равно квадрату отношения их сторон.

отношение сторон квадратов равно 3, отношение их площадей равно
32 = 9.