Докажите , что если 2a-b=5 , то 8a^3-b^3=125+30ab

"египетский" треугольник, подобный (3,4,5). Стороны 9,12,15. Расстояние от основания медианы к гипотенузе (то есть от середины гипотенузы) до катета 12 равно 9/2. А точка пересечения медиан на треть медианы ближе к вершине перяого угла, то есть расстояние от неё до катета 12 составит (2/3)*(9/2) = 3.

А можно и так. Медиана к гипотенузе равна 15/2, а точка пересечения медиан лежит на расстоянии (2/3)*(15/2)  = 5 от прямого угла. При этом, если опустить перпендикуляр из этой точки на катет (да любой :)) в данном случае - на катет 12), то поучится ОПЯТЬ "египетский" треугольник, причем самый настоящий - (3,4,5). Доказательство этого совершенно очевидного факта такое - медиана образует с катетами углы, равные углам треугольника, поскольку разбивает треугольник на два равнобедренных. Отсюда следует подобие построенного треугольника исходному.

Ну, вот так само собой и получилось, что расстояние от точки пересечения медиан до катетов 3 и 4. Нужное по задаче расстояние 3.

Допустим, тебе дан треугольник АВС(угол А прямой). АВ = 15, ВС=17. За Т. Пифагора находим 3ю сторону, она равна 8. 
Проводим от центра круга серединные перпендикуляри в точки дотику(извини, я учусь в Украине, не знаю, как это будет по-русски). обозначим их ОК, ОМ, ОН

За властавістю дотичних(тоже самое), проведеных с одной точки к кругу СМ=СН, НВ=ВК, АК=АМ. Рассмотрим квадрат АКОМ (т.к КА=АМ, ОМ=ОК(как радиуси), угли А, М, К - прямые => АКОМ - квадрат)
пусть сторона квадрата равна х. тогда КВ = 5-х (за осн. вл. длинны отрезка)

КВ=ВН=15-х

аналогично, НС=Сн=8-х

ВС= 17см. Вс=ВН+НС. НС=8-х, ВН=15=х. 17=8-х+15-х; х=3
радиус круга =3. Площадь круга=радиус в квадрате умножить на число пи
Площадь данного круга равна 9Пи