Втрапеции abcd основания ad и bc равны соответственно 5 и 2. окружность, описанная около треугольника abc, касается основания ad и боковой стороны cd. найти радиус окружности.

Пусть О - центр окружности. Т.к. касательная пересекается с окружностью только в одной точке, то А и С - точки касания. Отсюда AD=DC=5 как отрезки касательных из одной точки. Кроме того, прямая АО, которая пересекает BC в точке F перпендикулярна AD. Значит OF  - высота равнобедренного треугольника BCO, ведь BC||AD. Отсюда F - середина BC. т.е. FC=1. Значит cos∠D=(AD-FC)/DC=(5-1)/5=4/5. Отсюда OC=DC*tg(∠D/2)=DC*√((1-cos∠D)/(1+cos∠D))=5√((1-4/5)/(1+4/5))=5/3.

трапеция
- описана около Δ 
и  точки касания


?

Воспользуемся теоремой о свойстве касательной:
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу этой окружности,проведенному в точку касания.
 ⊥ 
 ⊥ 
Δ  и Δ  прямоугольные
( как радиусы)
общая
Δ  Δ  (по гипотенузе и острому углу)
Значит 
Пусть   тогда 
Из Δ 

по теореме косинусов:




с другой стороны из Δ 









 (1)

 ║ 
 ⊥ 
 ∩  ⇒  ⊥ 
Из C опустим перпендикуляр на сторону AD, т.е.
 ⊥ 
прямоугольник

Δ  равнобедренный, значит 


Δ  прямоугольный


 подставим в (1) и получим ответ:


ответ: 

рисунок  в приложении

Объяснение:

1)ΔEFH-равносторонний  треугольник, вписанный в окружность а₃=6√3.  S(равн.тр.)=(а²√3)/4  , S(равн.тр.)=(36*3√3)/4  =27√3.

L=2ПR . В равностороннем  треугольнике, вписанным в окружность, а₃=R√3,   R=6√3:√3=6.

L=2П*6=12П

3) L=(πrα) :180°

,где  L – длина дуги, π = 3,14, r – радиус окружности, α -центральный угол.

L=(π*6*60) :180°= 2π.

S(сектора)= (πr²α) :360°,   S(сектора)= (π*36*60) :360°=6π.

4) S(закраш.)= S(круга)- S(треуг.)

∆ АВС- прямоугольный, т.к. вписанный ∠АСВ опирается на полуокружность в 180° .

Из ∆АВС:   АВ=8 , по свойству угла в 30° ;  

по т.Пифагора АС²=64-16 ,  АС=√48=4√3.

Тогда S(треуг.)=1/2*СА*СВ,

S(треуг.)=1/2*4*4√3=8√3.

Радиус описанной окружности , в прямоугольном треугольнике равен половине гипотенузы : r=4.

S(круга)= πr² ,   S(круга)= 16π

S(закраш.)= 16π-8√3.

2,5 ед.

Объяснение:

Пусть О1 и О2 - центры данных окружностей. Соединим вершины трапеции А и В - с О1, C и D - с О2.

Треугольники АО1В и DO2C - прямоугольные, так как центры О1 и О2 лежат на пересечении биссектрис углов BAD, ABC и ADC, BCD, соответственно, а суммы пар этих углов равны 180°, как углы трапеции, прилежащие к боковым сторонам. Тогда О1Р и О2К - медианы этих треугольников (прямая, проходящая через центры вписанных в трапецию окружностей является средней линией трапеции и равна полусумме ее оснований, то есть (3+5):2 = 4 ед.). Медианы прямоугольных треугольников равны половине гипотенузы, то есть 0,5 ед. и 1 ед. соответственно. Вычитая из средней линии трапеции сумму этих отрезков, получим искомое расстояние: 4 - 0,5 - 1 = 2,5 ед.