Серединний перпендикулярно діагоналі ac прямокутника abcd перетинає сторону bc і утворює з нею кут, який дорівнює куту між діагоналями. знайдіть цей кут.

Срединный перпендикуляр диагонали АС прямоугольника АВСD пересекает сторону ВС и образует с ней угол, равный углу между диагоналями. Найдите этот угол. 

Срединный перпендикуляр проведен к точке пересечения диагоналей, которая делит их пополам. 

Обозначим его ОК. 

Треугольник КОС - прямоугольный. 

Боковые стороны треугольника СОD образованы равными половинами диагоналей, следовательно, он - равнобедренный. 

Проведем в нем высоту ОМ, она же – биссектриса ( свойство равнобедренного треугольника) и делит угол COD пополам. 

ОМ║КС ( углы КСМ=ОМС=90°)

∠ МОС=∠ОСК - накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущей. .

Но угол МОС - половина угла СОD, который равен углу СКО. 

Следовательно, ∠КОС=2 ∠КСО. 

Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90°

Угол КСО=2 КСО=90°

∠КСО=90°: 3=30°

∠ СКО=60°

Вот даю альтернативное решение тому, какому дала уважаемая Hrisula/

решение смотри в файле.

Смотрите рисунок к задаче, который приложен к ответу. На рисунке есть все построения, описанные в задаче, а именно: с прямым углом , EF — биссектриса , , FG — искомый отрезок.
==========
Решение:
Докажем, что .
1) Так как — биссектриса, то (биссектриса делит на два равные угла).
2) (это следует из условия: так как прямоугольный, то и ; так как — расстояние от до , то ).
3) Так как и , то и третий угол первого треугольника равен третьему углу второго треугольника: . Это следует из того факта, что сумма углов любого треугольника равна 180°. Тогда можно записать так:

Отсюда:

Суммы в скобках в обоих уравнениях равны (так как, как я уже отмечал выше, углы, составляющие те суммы, равны), а значит равны и разности в обоих уравнениях, а значит .

3) Сторона является для обоих треугольников общей.
Собранных сведений достаточно, чтобы заключить, что (второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим к ней углам ( — сторона, а — два прилежащих угла)).
Раз треугольники равны, то и все их их соответственные элементы равны. Видим, что искомой стороне соответствует , тогда:

ответ: 13. 
=========
ответ можно проверить, геометрически (линейкой) измерив искомый отрезок . Смотрите второй рисунок.

1. 4) такого тр-ка не существует, потому-что 5+9<15, а с таким отношением тр-ник построить нельзя.
2. Пусть боковые стороны будут a=х и b=х-3.
Так как высота делит тр-ник на два прямоугольных тр-ка и она для них общая, то по т. Пифагора можно записать ур-ние:
х²-10²=(х-3)²-5²,
х²-100=х²-6х+9-25,
х=14,
а=14 см, b=14-3=11 см, c=5+10=15 cм.
Р=14+11+15=40 см.
ответ: б) 40 см.
3. АВСД - ромб, ∠А=60°, АВ=АД, значит АВД - правильный тр-ник. В нём АО - высота. АО=АВ√3/2, АС=2АО=АВ√3 ⇒ АВ=АС/√3.
АВ=4√3/√3=4 см.
Периметр ромба: Р=4АВ=16 см.
ответ: а) 16 см.