На стороне ab треугольника abc отмечена некоторая точка n. точки k и m середины отрезков bc и an соответственно , а t- точка пересечения прямых cn и мк известно, что угол ctk равен углу tmn и ab равна 7. найдите длину отрезка cn.

Отметим сразу то , что NM=NT так как по условию углы CTK=TMN , или треугольник NMT - равнобедренный.
Продлим отрезок TK за точку K так что KT1=KT , тогда BTCT1 - параллелограмм (по свойству параллелограмма диагонали делятся в точке пересечения пополам , а по условию K середина BC) , тогда TC=BT1 , по свойству параллелограмма CTK=BT1T , откуда BT1T=CTK=NMT , значит треугольник BMT1 - равнобедренный , значит BM=BT1 , так как M середина AN , то CN=CT+TN = BT1+TN = BM+TN = BM+AM = BM+MN=AB=7 .
ответ CN=7 .

Не может, так как только при параллельных прямых мы можем получить треугольники с равными углами (два угла по свойству углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, третий угол общий для обоих треугольников)
В случае прямоугольного треугольника прямая, перпендикулярная к гипотенузе, может отсечь от исходного треугольника треугольник, подобный ему (у нового треугольника все три угла будут равны исходному). Высота г гипотенузе разбивает прямоугольный треугольник на три подобных с учетом исходного

1)высота - перпендикуляр, проведенный из вершины геометрической фигуры. Обозначим её АМ.
BC - гипотенуза треугольника ABC. Численно равна 30.
Пользуясь теоремой Пифагора запишем формулы для каждого из треугольников.

для большого треугольника ABC:
AB^2 + AC^2 = BC^2

для треугольника ABM:
AB^2 = AM^2 + BM^2

для треугольника AMC:
AC^2 = MC^2 + AM^2

подставляем два последних выражения в первое:
AM^2 + BM^2 + MC^2 + AM^2 = BC^2

преобразования:
2AM^2 + (24)^2 + (6)^2 = (30)^2
2AM^2 + 576 +36 = 900
2AM^2 = 288
AM^2 = 144
AM = 12

AB^2 = AM^2 + BM^2
AB^2 = 720
AB = 12*(5)^1/2
это означает 12 умножить на квдратный корень из 5

AC^2 = MC^2 + AM^2
AC^2 = 6*(5)^1/2
это означает 6 умножить на квдратный корень из 5