На рисунке 152 L ЕМ К = 40°, L МКЕ = 70°, прямые МС и ЕК не имеют общих точек, отрезки BE и КА являются высотами треугольника ЕМК.1) Докажите, что треугольник ЕМК равнобедренный.2) Найдите угол СМЕ.3) Докажите, что КА = BE.4) Сравните отрезки MB и АК.

1 треугольник: <1= 90°-30°=60°
2 треугольник: <2=70° (т.к треугольник равнобедренный, углы при основании равны) <1= 180°-(70°+70°)=40° (сумма углов треугольника равна 180°
3 треугольник: <1=<2= 45° (по свойству равнобедренного прямоугольного треугольника)
4 треугольник: <1=<2=60° (все углы равностороннего треугольника по 60°)
5 треугольник: <1=<2= 150° : 2=75° (треугольник равнобедр., углы при основании равны; внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним углов)
6 треугольник: <2= 180° - 40°= 140° (смежный) <1= 180° - (20° + 140°)= 20° (сумма углов треугольника=180°)

Нормальные векторы плоскостей, которые задают прямую а. равны:

n1 = (2; 1;-2) , n2 = (1; 1; 1).

Тогда направляющим вектором  прямой а будет   векторное произведение векторов  n1 и n2.

a × b =  

i j k

ax ay az

bx by bz

 =  

i j k

2 1 -2

1 1 1

 = i (1·1 - (-2)·1) - j (2·1 - (-2)·1) + k (2·1 - 1·1) =  

 = i (1 + 2) - j (2 + 2) + k (2 - 1) = {3; -4; 1}.

Таким образом, вектор →

n =  {3; -4; 1}     будет нормальным вектором плоскости, перпендикулярной к прямой  a.

Запишем искомое уравнение плоскости:

3(x  − 2)  + (-4)(y + 3)  + 1(z −  5)  

=  3x – 6 – 4y – 12 + z – 5 = 3x – 4y + z – 23 = 0.

ответ: 3x – 4y + z – 23 = 0.