Окружность с центром в точке O касается сторон угла A в точках B и C. Найдите ∠ OAB, если ∠ BOC = 120°.

30

Объяснение:

(180-120)/2=30

Дан треугольник АВС, угол А = 45 градусов, АВ =8 √2 и АС = 18.

Поместим его в прямоугольную систему координат точкой А в начало, точка В на оси Ох.

х(В) = AB*cos A = 8√2*(√2/2) = 8.

y(B) = AB*sin A = 8√2*(√2/2) = 8.

Получили координаты вершин.

А(0; 0), В(8; 8), С(18; 0).

Находим векторы сторон.

Координаты векторов    

АВ                ВС             АС  

х       у             х      у                 х у

8      8            10    -8                18     0.

По свойству векторов медиана как половина диагонали параллелограмма на векторах сторон равна половине суммы векторов сторон.

Медианы    

АА1                ВВ1                 СС1  

х      у           х       у               х     у

13    4           1      -8             -14      4.

Модули (длины) медиан равны:

|AA1| = √(13² + 4²) = √(169 + 16) = √185 ≈ 13,60147.

|BB1| = √(1² + (-8)²) = √(1 + 64) = √65 ≈ 8,06226.

|CC1| = √((-14)² + 4²) = √(196 + 16) = √212 ≈ 14,56022.

Диагонали взаимно перпендикулярны, кроме того, углы, образованные ими, равны, а также точкой пересечения диагонали делятся пополам. Пусть О - точка пресечения диагоналей, тогда AO = AC = 16√3, BO = OD = 16. По теореме Пифагора находим гипотенуза AB, которая будет равна √(AO²+OB²) = √(16²+(16√3)²) = √(256+768) = √1024 = 32 => гипотенуза в два раза больше противолежащего катета => угол ABO = 30° => угол ABC =60°, т.к. угол CBO = ABO = 30°. Тогда угол ADC = 60°, т.к. противоположные углы ромба равны. Находим далее угол BAD + BCD, которые равны 360° - угол ABC - ADC = 360°-60°-60° = 240°. Значит, угол BAD = DCB = 1/2*240° = 120°.