Внутри треугольника АВС взяли такую точку О, что треугольники АОВ, ВОС и АОС равновелики. Где может находиться такая точка?

На пересечении трех медиан. Всё доказывает я через свойство "Дальтоплана"

Когда есть задача, в условии которой дана сумма двух величин и их разность (не обязательно геометрия), а иксов Вы еще не проходили или не хотите их использовать, существует три варианта решения без иксов.
1. Если бы углы были равны, то их значение было бы равно 78⁰:2=39°.
Но они не равны и разница между ними 18°. То есть значения углов отличаются от половинного на +9° и -9°.  Следовательно, меньший из них
(АОВ) равен (78°:2)-9°=30°, а больший из них (искомый) равен
<СОВ = (78:2)  + 9 = 48 градусов.
2. Пусть оба угла равны и равны меньшему из данных. Тогда их сумма была бы равна 78°-18°=60°. Значит меньший угол равен <AOB=60°:2=30°.
Тогда больший (искомый) угол <СОВ равен 30°+18°=48°.
3. Пусть оба угла равны и равны большему из данных. Тогда их сумма была бы равна 78°+18°=96°. Значит больший угол равен 96°:2=48°.

ответ: <COB=48°.

Есть теорема:  "Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость". Отрезок CD имеет общую точку C с плоскостью АВС и общую точку D с плоскостью ABD. Через две точки можно провести только одну прямую, следовательно, прямая, содержащая отрезок СD, пересекает плоскость, содержащую треугольник АВС и плоскость, содержващую треугольник ABD. Значит любая прямая, параллельная СD, по приведенной теореме, также пересечет и плоскость АВС и плолскость ABD. Что и требовалось доказать.