Даны два треугольника АВК и ВСК: АВ = ВС, АК = КС. ( точки В, К принадлежат одновременно двум треугольникам) Докажите, что треугольник АВК = треугольнику СВК.

1) Находим апофему А как высоту боковой грани.

А = √(6² - (4/2)²) = √(36 - 4) = √32 = 4√2.

Двугранный угол при ребре основания равен плоскому углу между высотами h, проведенными к боковому ребру из точек А и Д в точку М.

По свойству площади треугольника определяем:

А*а = L*h. Отсюда h = А*а/ L = 4√2*4/6 = 8√2/3.

Получаем равнобедренный треугольник с боковыми сторонами АМ и ДМ по 8√2/3 и с основанием АД, равным диагонали квадрата основания 4√2.

Косинус искомого угла М равен:

cos М = ((8√2/3)² + (8√2/3)² - (4√2)²)/(2*(8√2/3)*(8√2/3)) = -1/8.

Угол равен arccos(-1/8) = 1,696 радиан или 97,18 градуса.

2) Угол между плоскостями АВС и BDC1 равен плоскому углу между отрезками, проведенными из точек С и С1 в точку О пересечения диагоналей нижнего основания .

СО = √((2/2)² + (3/2)²) = √(1 + (9/4)) = √13/2.

ответ: tg(COC1) = CC1/CO = 4/(√13/2) = 8/√13 = 8√13/13.

Объяснение:

1) ∠KON = 180° - 78° = 102° (как смежный с ∠MOK)

x = ∠OKN = (180° - 102°) / 2 = 39° (ΔKON равнобедренный)

5) Дуга SNM = 180° (стягивает диаметр)

Меньшая дуга MN = 80°, т.к. на нее опирается вписанный угол в 40°

Следовательно x = 180° - 80° = 100°

2) Т.к. AO = OB, то ΔAOB равнобедренный. А т.к. угол при вершине O равен 60°, то он равносторонний. Отсюда x = 8.

6) Меньшая дуга MK = 360° - 180° - 124° = 56°

Вписанный угол опирающийся на эту дугу равен половине ее градусной меры:

x = 56° / 2 = 28°