Прямая am перпендикулярна к плоскости квадрата abcd, диагонали которого пересекаются к точке о. докажите: а)прямая bd перпендикулярна к плоскости amo; б)mo перпендикулярна bd . решается четвертная ! 35 . с рисунком. умоляю.

А) ВД⊥АО, АО⊥АМ, значит по теореме о трёх перпендикулярах ВД⊥АМ.
Прямая ВД перпендикулярна двум взаимно перпендикулярным прямым, лежащим в одной плоскости АМО, значит она перпендикулярна самой плоскости.
б) МО лежит в плоскости АМО, ВД⊥АМО, значит ВД⊥МО.

Проведём две высоты ВЕ и СК на AD, тогда ВС = ЕК = 8 см.
Пусть АЕ = х → ED = AD – AE = 24 – x


Рассмотрим ∆ АСК (угол АКС = 90°):
По теореме Пифагора:
АС² = АК² + СК²
СК² = 13² – ( х + 8 )² = 169 – ( х² + 16х + 64 ) = 169 – х² – 16х – 64 = – х² + 105 – 16х

Рассмотрим ∆ BDE (угол BED = 90°):
По теореме Пифагора:
BD² = BE² + ED²
BE² = ( 5√17 )² – ( 24 – x )² = 25·17 – ( 576 – 48x + x² ) = 425 – 576 + 48x – x² = – x² – 151 + 48x

Высоты трапеции равны: ВЕ = СК →
ВЕ² = СК²
– х² + 105 – 16х = – x² – 151 + 48x
48х + 16х = 151 + 105
64х = 256
х = 4 см
Значит, АЕ = 4 см , ЕК = 8 см, КD = 12 см.
Также можно заметить, что АК = KD = 12 см. Значит, ∆ ACD – равнобедренный, где AC = CD = 13 см, CK – высота, медиана, биссектриса.

Рассмотрим ∆ АСК (угол АКС = 90°):
По теореме Пифагора:
СК² = 13² – 12² = 169 – 144 = 25
Значит, СК = ВЕ = 5 см.


Площадь трапеции равна:

S abcd = ( 1/2 ) · ( BC + AD ) · CK = ( 1/2 ) · ( 8 + 24 ) · 5 = ( 1/2 ) · 32 · 5 = 16 · 5 = 80 см²

ОТВЕТ: S abcd = 80 см².

1) Т.к. углы CDB и CAB опираются на одну и ту же дугу, то они равны. Тогда треугольники DCB и ABC равны по стороне и 2-м углам(AC общая, а углы CDB=DBC=CAB=BAC т.к. треугольники DCB и ABC равнобедренные и углы CDB=CAB см. выше). Треугольники DCA и ABD равны по тому же принципу. В итоге треугольники CTB и DTA равнобедренные, а т.к. углы CTB и DTA вертикальные, то углы TDA и TBC равны, а это признак параллельности прямых, тогда CB || AD.

2) Пусть ACB=α. По формуле радиуса описанной окружности , тогда . Угол DCA=180-3α. По теореме синусов имеем . Теперь подставляем значение sinα=3/4 и вычисляем. У меня получилось