Різниця кутів, більший із яких лежить між бічними сторонами, а другий — при основі рівнобедреного трикутника, дорівнює 30°. знайдіть усі кути трикутника.

 Позначимо кути літерами a,b,c.  Нехай кут а буде між бічними сторонами, тобто при вершині, тому кут біля основи дорівнює а-30°  У рівнобедреного трикутника кути при основі однакові, тому і інший кут при основі теж буде а-30°. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то :

(а-30)+(а-30)+а=180°
3а-60=180°
3а=240°
а=80°
а-30=50°
Відповідь: кути при основі - 50° кожен, кут при вершині 80°

"Умножение катет" это видимо их произведение?
a+b+c=30
ab=60
Вспоминаем теорему Пифагора:
a²+b²=c²
Прибавляем к обеим частям 2ab:
a²+2ab+b²=c²+2ab
(a+b)²=c²+120
Для удобства заменим a+b на х:
х²=с²+120
Или:
с²=х²-120
Но в то же время 
a+b+c=30, или
х+с=30
с=30-х
с²=(30-х)²=900-60х+х²
Приравниваем два выражения для квадрата гипотенузы:
х²-120 = 900-60х+х²
60х = 1020
х=17
Итак, мы знаем:
a+b=17
ab=60
Выражаем:a = 17-b
(17-b)b=60
17b-b²=60
b² - 17b + 60 = 0
D = 289 - 4*60 = 49 = 7²
b = (17+-7)/2 = {12;5}
Собственно мы и получили пару возможных значений - или a=5, b=12, или наоборот, это неважно.

Дан правильный тетраэдр ABCD, ребро которого равно а, DO-высота тетраэдра, М-середина DO.

Высота DO равна а√2/√3 (это свойство правильного тетраэдра).
Точка О делит высоту АЕ основания в отношении 2:1 от вершины.
АЕ = а*cos 30° = a√3/2.
Тогда отрезки АО и ОЕ равны:
АО = (2/3)*(a√3/2) = a√3/3, ОЕ = (1/3)*(а√3/2) = а√3/6.
Примем длину МО = х.
Из подобных треугольников AMO и AFE составляем пропорцию:
х/АО = EF/AF.
Так как EF = OE, а AF = DO, то пропорция примет вид:
х/(а√3/3) = (а√3/6)/(а√2/√3).
Отсюда значение х равно:
х = (а√3)/(6√2) = (а√6)/12 = (а√2)/(4√3) = OD/4.
Получаем ответ на вопрос - г) в каком отношении плоскость сечения делит высоту тетраэдра AF,считая от А?
ответ: DM:MO = 3:1.

Сечение через точку М, параллельное плоскости ВСD, пересекает АЕ в точке Т, которая делит ОЕ пополам.
Тогда АТ = (5/6)АЕ и треугольник в полученном сечении имеет коэффициент подобия к треугольнику ВСД, равный 5/6.

Площадь подобного треугольника NКР в сечении равна  площади ВСД, умноженной на квадрат коэффициента подобия.
S(BCD) = (1/2)BC*DE = (1/2)a*(a√3/2) = a²√3/4.
S(NKP) = (a²√3/4)*(25/36) = a²*25√3/144.

Периметр NКР равен (5/6)*3а = 5а/2.