По две точки окружности делят ее на 2 дуги, градусные меры которой относятся , как 5: 7 .найти длины этих дуг

Вся окружность разделена на равные части, градусная мера такой части пусть будет х°, тогда одна дуга будет содержать 5 таких частей и иметь градусную меру 5х, вторая дуга будет содержать 7 таких частей и иметь градусную меру 7х
5x+7x=360
12x=360
x=30
одна дуга будет 5·30°=150°, вторая дуга будет 7·30°=210°

S(amb)=S(bmc) => S(amb) = 1/2 S(abc) ((1)медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника(1))

AК - медиана треугольника AMB, так как BK=KM

S(abk)=S(amk)=1/2 S(abm) = 1/4 S(abc) (аналогично с 1) Т.к ВК=КМ то ВМ=1/2 * ВК Допольнительное построение: Прямая проходящая через точку В и паралельная АС; Продлеваем АР до пересечения с прямой и ставим точку Е Треугольник ВКЕ подобен АКМ ( по 2 углам(ВЕК=КАМ накрест лежащие при прямых ВЕ и АС , секущей АЕ и ВКЕ=АКМ вертикальные)=> АМ/ВЕ=КМ/ВК, т.к КМ=ВК то АМ=ВЕ => ВЕ=1/2 * АС Треугольник ВРЕ подобен АРС ( по 2 углам (ВРЕ=АРС вертикальные и ВЕК=КАМ накрест лежащие при прямых ВЕ и АС , секущей АЕ) => РС/ВР=АС/ВЕ, т.к ВЕ=1/2 * АС то РС/ВР= 2/1 => ВР/ВС=1/3

Проведем MH параллельно AP

MH - средняя линия ACP (так как MH параллельна AP и AM=MC) (по признаку средней линии)=>PH=HC(по определению средней линии)

KP - средняя линия BMН (по признаку средней линии) =>PH=PB(по определению средней линии)

PH=HC; PH=PB =>PH=HC=PB S(bkp)=1/2* sin(КBР) * BK* BP (площадь треугольника равна произведение сторон на синус угла между ними) S(mbc)=1/2* sin(КBР) * BM*BC  (площадь треугольника равна произведение сторон на синус угла между ними)

S(bkp)/ S(mbc)= 1/2 * sin(КBР) * BK* BP/1/2* sin(КBР) * BM*BC ( при этом мы знаем, что BK=1/2 * BM и BP = 1/3 * BC)=> S(bkp)/ S(mbc)=1/6

S(bkp)/ S(mbc)=1/6 => S(cmkp)/ S(mbc)=5/6 S(mbc)=1/2 S(abc) (из доказаного выше) => S(cmkp)/ S(abc) = 5/12 S(abk)/S(kpcm) = 1/4 S(abc)/ 5/12S(abc)= 3/5

Постройте прямоугольный треугольник с гипотенузой, вдвое большей меньшего катета,(по свойству катета, противолежащего углу 30 градусов)

Острый угол при этом катете будет 60 градусов, а смежный с ним угол равен 120 градусам. 

Как строить такой прямоугольный треугольник, думаю, знаете. 

К прямой провести перпендикуляр, на горизонтальной стороне от основания перпендикуляра отложить катет - отрезок проивольной длины.Обозначить его точкой. Из этой точки раствором циркуля, равным удвоенной величине отложенного катета, провести окружность. Точка пересечения этой дуги с перпендикуляром будет третьей вершиной треугольника. Соедините эту точку с точкой на горизонтальной прямой - получите внешний угол, равный 120 градусо.