Вершины треугольника со сторонами 2см, 4√2 и 6см лежат на сфере. найдите радиус сферы, если плоскость треугольника удалена от ее центра на 4см.

расположим сферу так, чтобы плоскость треугольника была горизонтальной. тогда вид сверху даёт нам окружность в которую вписан треугольник авс. примем ав=2, вс=4 корня из2, ас=6. обратим внимание, что ас квадрат=ав квадрат+ вс квадрат. или 36=4+32. отсюда -треугольник авс прямоугольный. угол в прямой(против большей стороны). центр описанной окружности в прямоугольном треугольнике лежит на середине гипотенузы.обозначим эту точку о1. ао1=со1=3. это значит, чтоо1 -центр круга полученного сечением сферы плоскостью в которой лежит треугольник авс. тогда расстояние от центра сферы до плоскости треугольника авс будет равно о1о.  где о центр сферы. рассмотрим вид сбоку.  в проекции получаем окружность радиусом равным радиусу сферы r. проекция плоскости треугольника авс-хорда ас. проведём радиусы оа и ос. проведём перпендикуляр оо1=4(по условию).  к ас. тогда по теореме пифагора r=корень из(о1с квадрат+ оо1квадрат)=корень из (9+16)=5.

треугольник авс - равнобедренный ( по условию). значит по определению равнобедренного треугольника ав=вс. по св-ву медианы равнобедренного треугольника вм- биссектриса и высота, значит если вм- биссектриса, то угол авм = углу свм. для треугольников авм и свм - сторона вм- общая, следовательно треугольник авм = треугольнику свм ( по двум сторонам и углу между ними), т.к. вм- общая, ав=вс(по опред. равноб. угол авм= углу свм(т.к. вм-биссектриса по св-ву равнб. треугольника). что и требовалось доказать.

пусть дана трапеция авсд с прямыми углами а и в, большим основанием ад=9, меньшим - вс=6 и боковой стороной сд=5 см.

1) опустим из с на основание ад высоту ск. получим  прямоугольный тр-к скд с катетом 9-6=3 см и гипотенузой 5, второй катет по теореме пифагора равен 4 см.

2) авск - прямоугольник с размерами вс=ак=6 см и ав=ск=4 см.

3) высотой трапеции является меньшая боковая сторона ав=ск=4 см. площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

s=((ад+вс)/2)*ск=((9+6)/2)*4=30 (квадр. см)