Вравнобедренном треугольнике один из углов равен 120 . высота проведенная к основанию равна 13 см . найдите боковую сторону треугольника

Если в прямоугольном треугольнике один из углов 30°, то противолежащий катет равен половине гипотенузы

Т.к. треугольник равнобедренный, то высота является и бессектриссой.

Логично, что угол в 120° является вершиной треугольника.

Найдём углы при основании.
(180-120)/2=30°

Высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника, в которых высота является катетом.

Этот катет лежит напротив угла в 30°, а значит, по правилу, он равен половине гипотенузы (боковой стороны).

Боковая сторона равна: 13*2=26

ответ: Боковая сторона треугольника равна 26.

АВ=ВС, т.к. треугольник равнобедренный, а АС - основание. 
ВК=2, АК=8, тогда, АВ=10.
Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника, проведём биссектрису ВН: точка Н совпадёт с точкой касания окружности на стороне АС, т.к. в биссектриса, проведённая из угла В, является и высотой, и медианой, т.е. угол АНС = 90 градусов. 
АН=АК, т.к. отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, т.е. АН=8, тогда АС=16. 
В прямоугольном треугольнике АВН АВ=10, АН=8, тогда по теореме Пифагора ВН=6. 
Найдём площадь треугольника: 1/2 * АС * ВН = 1/2 * 16 * 6 = 42.

Обозначим данный треугольник АВС, ∠С=90°, ∠А=30°, ВК- биссектриса ∠АВС, КМ⊥АВ. 

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

∠САВ=30°, ∠АВС=60°. 

Биссектриса делит угол пополам, ⇒∠КВС=∠КВМ=30°

Прямоугольные ∆ КВС=∆ КВМ по острому углу и общей гипотенузу. ⇒

КС=КМ. 

В ∆ АКМ катет КМ противолежит углу 30° и равен половине гипотенузы АК (свойство). 

Примем КМ=а

Тогда АК=2а

Так как КС=КМ, то АС=3а

3а=18,  а=6 см. 

КС=а=6 см, КА=18-6=12 см

           * * * 

Решить задачу можно разными Например,  по т. Пифагора найти АВ и ВС и применить и свойство биссектрисы, которая делит противоположную углу сторону в отношении прилежащих сторон. Можно воспользоваться функциями острых углов, - это зависит от темы, которую в настоящее время проходите,  но данное решение самое простое.