1. в трапеции основания равны 4 и 12см, а высота равна полусумме длин оснований. найдите площадь трапеции. 2. стороны параллелограмма равны 4 и 7см, а угол между ними равен 150°. найдите площадь параллелограмма. 3. диагонали ромба относятся как 3 : 5, а их сумма равна 8см. найдите площадь ромба.

1)

h=(4+12)/2=8 см;

S=((4+12)/2)*8=8*8=64 см².

2)

Острый угол параллелограмма равен :   180-150=30°. (боковая сторона 4см, основание 7 см).

Высота равна: 4/2=2 см.

S=7*2=14 см².

3)

Стороны ромба:    3см ; 5см.  (решается в уме).

S=3*5/2=7,5 см²

А(-3; 1)   В(1; -2)   С(-1; 0)

1) Координаты вектора АВ

АВх = хВ - хА = 1 + 3 = 4

АВу = уВ - уА = -2 - 1 = -3

АВ(4; -3)

Координаты вектора АС

АСх = хС - хА = -1 + 3 = 2

АСу = уС - уА = 0 - 1 = -1

АС(2; -1)

2) Модуль вектора АВ

|AB| = √(АВх² + АВy²) = √(4² + (-3)²) = 5

Модуль вектора АC

|AC| = √(АCх² + АCy²) = √(2² + (-1)²) = √5

3) Cкалярное произведение векторов АВ и АС

АВ · АС = АВх · АСх + АВу · АСу = 4 · 2 + (-3 · (-1)) = 11

4) Косину угла между векторами АВ и АС

cos α = AB · AC : (|AB| · |AC|) = 11 : (5√5)= (11√5) /25

Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника. Треугольники, прилегающие к основаниям трапеции,  подобны по первому признаку подобия: "Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны", т.к  <CAD=<ACB, а <BDA=<DBC как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AD и ВС и секущих АС и ВD соответственно.
Итак, треугольники АОD и СОВ подобны с коэффициентом подобия
ВС/АD=5/7. Тогда АО/ОС=DO/OB=5/7.
ответ: диагональ трапеции разбивается другой диагональю на отрезки в отношении 5:7.