Вцилиндр, объём которого равен 300π, вписан конус. найдите площадь боковой поверхности конуса, если тангенс угла между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания равен 1, 2. в ответ запишите s/π.

R - радиус основания цилиндра и конуса

D= 2R - диаметр основания цилиндра и конуса

h - высота цилинра и высота конуса

L - образующая конуса

Объём цилиндра V = πR²·h = 300π → R²·h = 300;

tgα = h/D = 1,2 → h/2R = 1.2 → h = 2.4R

R²·h = 2.4R³ = 300 → R³ = 125 → R = 5

h = 2.4R = 2.4 · 5 = 12

Образующая конуса равна L = √(R² + h²) = √(5² + 12²) = 13

Площадь боковой поверхности конуса Sбок = πR·L = π · 5 · 13 = 65π

ответ: 65

Задача: В равнобедренном треугольнике ABC поведена высота BD к основанию AC. Длина высоты 8,5 см, длина боковой стороны — 17 см. Определить углы этого треугольника.  

AD = DC = 17/2 = 8,5

BD = AD = DC = 8,5 ⇒ ΔABD = ΔCBD — равнобедренные, прямоугольные, ∡BDA = ∡BDC = 90°

∡DAB = ∡DBA = ∡DCB = ∡DBC = 90/2 = 45°

∡ABC = ∡DBA + ∡DBC = 45+45 = 90°

ответ: ∡BAC = 45°,

          ∡BCA = 45°,

          ∡ABC = 90°.

Задача: В равнобедренном треугольнике ABC величина угла вершины ∡B = 30°. Определить угол основания AC с высотой AM, проведенной к стороне BC. ∡MAC - ?

Р-м ΔABC — равнобедренный.

∡A = ∡C = (180−∡B)/2 = (180−30)/2 = 75°.

Р-м ΔACM — прямоугольный

∡AMC = 90°, ∡ACM = ∡C = 75°. Исходя из теоремы о сумме углов треугольника, градусная мера угла ∡MAC будет равна:

∡MAC = 180−(∡AMC+∡ACM) = 180−(90+75) = 180−165 = 15°

ответ: ∡MAC = 15°.

Задача: Высоты треугольника ABC пересекаются в точке O. Величина угла ∡BAC = 63°, величина угла ∡ABC = 72°. Определить угол ∡AOB.

Р-м Δ ABE:

∡AEB = 90°, ∡ABE = 72° (∡ABE ∈ ∡ABC).

Исходя из теоремы о сумме углов треугольника, градусная мера ∡BAE будет равна:

∡BAE = 180−(∡AEB+∡ABE)=180−(90+72) = 180−162 = 18°.

Р-м Δ ABD:

∡ADB = 90°, ∡BAD = 63° (∡BAD ∈ ∡BAC)

Исходя из теоремы о сумме углов треугольника, градусная мера ∡ABD будет равна:

∡ABD = 180−(∡ADB+∡BAD) = 180−(90+63) =180−153 = 27°.

По аналогии, угол ∡AOB в Δ ABO равен:  

∡AOB = 180−(∡BAO+ABO) = 180−(18+27) = 180−45 = 135°

ответ:  ∡AOB = 135°.

Задача: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC к стороне BC проведена высота AM и биссектриса AN. Найти угол ∡MAN, если ∡B = 22°.

Р-м Δ ABC:

∡B = 22°, ∡A = ∡C = (180−22)/2 = 158/2 = 79°

Р-м Δ ACM:

∡AMC = 90°, ∡ACM = 79° ⇒ ∡CAM = 180−(90+79) = 180−169 = 11°.

∡BAN = ∡CAN = 79/2 = 39,5°, т.к. AN — биссектриса

Тогда ∡MAN = ∡CAN−∡CAM = 39,5−11 = 28,5°

ответ: ∡MAN = 28,5°.