Доказать, что abcd параллелограмм.

   В параллелограмме АВСD на диагонали АС отмечены точки М и N так, что АМ=CN.  До казать, что МВND- параллелограмм.

  Противоположные стороны параллелограмма параллельны и равны. ВС||AD, АС - секущая. ⇒ ∠ВСА=∠САD (накрестлежащие).

∠ВАС=∠DCА при параллельных АВ и СD и секущей АС (накрестлежащие).

 Рассмотрим ∆ ВСN и АМD.  Стороны BC=AD; стороны CN=AМ ( дано),∠ВСN=∠DAM ( доказано выше).  ∆BCN=∆DAM по 1-му признаку равенства  ⇒ ВN=DM

Аналогично  ∆ АВМ = ∆ СDN  по двум сторонам и углу между ними. ⇒ ВМ=DN.

Противоположные стороны четырехугольника  MВСD  равны.  Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.⇒

 MВСD - параллелограмм. Доказано.

2.так как. АД-медина, то т. Д (х; у) -середина ВС 
Значит, х=(х1+х2)/2 
у=(у1+у2)/2 
В (х1;у1), С (х2;у2), Д (-2;-4) 
Соs(АД АС) =(вектор АД*на вектор АС) /|АД|*|АС| 
(дальше это векторы) 
АД (-2-0;-4-(-4)) 
АД (-2;0) 
АС (-1-0;-3-(-4)) 
АС (-1;1) 
АД*АС=-2*(-1)+0*1=2 
|АД|=2;|АС|=корень из 2 
Соs(АД АС) =2/(2*корень из 2)=корень из 2/2 
Значит, угол равен 45 градусов.
1.Поместите A в начало координат, D на оси x, B - на оси y. Все координаты находятся элементарно. Дальше - находите вектора и перемножаете. Например, координаты точки B - (0,6)

Пусть AD и BE пересекаются в точке K 
В треугольнике ABD BE - и биссектриса и высота, то есть это равнобедренный треугольник, AB = BD, и BE - так же и медиана, то есть AK = KD; 
Пусть теперь точка F лежит на продолжении BA за точку A, так что CF II AD. Так как BD - медиана, то в треугольнике FBC AD - средняя линия, а CA - медиана треугольника  FBC; само собой, BE так же медиана этого равнобедренного треугольника FBC (если её продолжить за точку E до пересечения с FC в точке G), то есть точка Е делит AC, как это обычно и бывает с медианами: AE/EC = 1/2;
Более того, BE/EG = 2/1, то есть BE/BG = 2/3; а BK/KG = 1/1; то есть BK/BG = 1/2; отсюда BK/BE = 3/4; и KE/BE = 1/4;
Таким образом, AK = KD = 48; KE = 24; BK = 72;
AB = √(48^2 + 72^2) = 24√13; BC = 2*AB = 48√13;
AE = √(48^2 + 24^2) = 24√5; AC = 3*AE = 72√5;

665