Расстояние от некоторой точки до плоскости до трех из вершин прямоугольника равны соответственно 5, 13, 12. найдите площадь этого прямоугольника

Смотри вниз периодически.

а) DC║AB, AB ⊂ α ⇒ DC ║ α или DC ⊂ α.

Комментарий: если DC ⊂ α, то D, D₁ и C, C₁ совпадают, поэтому рассматривать дальше при этом условии не интересно.

б) (ADD₁) ∩ (DCC₁) = DD₁ т.к. DD₁ ⊂ (ADD₁) и DD₁ ⊂ (DCC₁) т.к.

D ∈ (DCC₁); DD₁ ║ CC₁ (по условию) и СС₁ ⊂ (DCC₁).

в) (ADD₁) ║ (BCC₁) т.к. AD ║ BC (как противоположные стороны параллелограмма); DD₁ ║ CC₁ (по условию); AD ∩ DD₁ ; BC ∩ CC₁ ;

AD, DD₁ ⊂ (ADD₁) и ВС, СС₁ ⊂ (BCC₁).

г) AD₁ ║ BC₁ т.к. AD₁ ⊂ (ADD₁); BC₁ ⊂ (BCC₁); (ADD₁) ║ (BCC₁) и

AD₁ , BC₁ ⊂ α.

д) Раз плоскость (β), которую нам надо провести параллельная (ADD₁), то она будет параллельная и (BCC₁) т.к. (ADD₁) ║ (BCC₁), отрезки заключённые между параллельными плоскостями на параллельных прямых равны, поэтому другие точки лежащие по середине DC и D₁C₁ будет принадлежать β, а по трём точкам можно провести плоскость.

1) И прямая, и плоскость не имеют строгих определений в геометрии, а определяются через их свойства. У прямой нет "ширины" и "высоты", однако она простирается бесконечно в обе стороны. В строгом смысле слова, прямая - это одномерный аналог пространства. Плоскость имеет уже два бесконечных измерения - "длину" и "ширину", это двумерный аналог пространства.

2)
а) нет, не могут. Плоскости либо параллельны (и тогда они не имеют общих точек), либо пересекаются по прямой (и тогда имеют бесконечное множество общих точек), либо совпадают (и тоже имеют бесконечное множество общих точек)
б) нет
в) да