ОЧЕНЬ Подробно Длины сторон прямоугольника равны 12 и 16 см. Через точку О пересечения его диагоналей проведена прямая ОК, перпендикулярная его плоскости. Найдите расстояние от точки К до вершин прямоугольника, если ОК = 5√5 см.​

Дано: ABCD - прямоугольник, AB=DC= 12 см, BC=AD=16 см, AC и BD - диагонали ABCD, AC∩BD = т.О, K ∉ ABCD, OK⊥ABCD, КО=5√5 см.

Найти: АК.

Решение.

Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром описанной окружности => точка О - центр описанной около прямоугольника ABCD окружности.

Длины отрезков AO, OC, BO, OD равны между собой и равны радиусу описанной окружности.

AO=OC=BO=OD.

Если проекции наклонных, проведённых из одной точки, равны, то равны и наклонные. Соответственно, ВК=КС=КD=KA (поскольку проекции данных наклонных (ВО, СО, DO и AO) равны между собой).

Найдём диагональ прямоугольника ABCD.

В прямоугольном ΔBAD (∠BAD=90°) по т. Пифагора:

BD²= AB²+AD²;

BD²= 12²+16²;

BD²= 400;

BD= 20 (-20 не подходит).

Диагонали прямоугольника равны, пересекаются и в точке пересечения делятся пополам => BO=OD=АО=ОD=½ BD= 20÷2=10 (см).

В прямоугольном ΔАОК (∠AOK=90°) по т. Пифагора:

АК²= АО²+ОК²;

АК²= 10²+(5√5)²;

AK²= 100+125;

AK²= 225;

AK= 15 (-15 не подходит).

Расстояние от т.К до вершин прямоугольника равно 15 см.

ОТВЕТ: 15 см.

P.S. Очень надеюсь, что все понятно расписала...)

Обозначим абсциссу точки М х. Тогда
М (х ; 0 ; х).
Р (1 ; 2 ; 1)
Координаты вектора РМ ( x - 1 ; - 2 ; x - 1).

N - проекция точки Р на плоскость XOY.
N (1 ; 2 ; 0)
Координаты вектора NP (0 ; 0 ; 1)

Прямая РМ составляет с плоскостью XOY угол 30°, значит угол между векторами РМ и NP  равен 60° или 120°.

↑PM · ↑NP = (x - 1) · 0 + (- 2) · 0 + (x - 1) · 1 = x - 1
|↑PM| = √((x - 1)² + 4 + (x - 1)²) = √(2(x - 1)² + 4)
|↑NP| = √(0² + 0² + 1²) = 1

1) cos60° = (↑PM · ↑NP) / (|↑PM| · |↑NP|)
1/2 = (x - 1) / √(2(x - 1)² + 4)
2(x - 1) = √(2(x - 1)² + 4)                         
ОДЗ: x - 1 ≥ 0
          х ≥ 1
4(x - 1)² = 2(x - 1)² + 4
(x - 1)² = 2
x - 1 = √2              x - 1 = - √2
x = √2 + 1              x = - √2 + 1 - не входит в ОДЗ
M (√2 + 1 ; 0 ; √2 + 1)

2) cos 120° = (↑PM · ↑NP) / (|↑PM| · |↑NP|)
- 1/2 = (x - 1) / √(2(x - 1)² + 4)
- 2(x - 1) = √(2(x - 1)² + 4)                         
ОДЗ: x - 1 ≤ 0
          х ≤ 1
4(x - 1)² = 2(x - 1)² + 4
(x - 1)² = 2
x - 1 =  - √2              x - 1 = √2
x = - √2 + 1              x = √2 + 1 - не входит в ОДЗ
M (- √2 + 1 ; 0 ; - √2 + 1)

Теорема Фалеса:
Если на одной из двух прямых отложить последовательно равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
Пусть дан отрезок АВ. 
Из А проведем луч и отложим на нем 7 равных отрезков, конец последнего обозначим С.. 
Соединим С и В. 
Через концы остальных отрезков проведем параллельно СВ еще 6 прямых.
7 отрезков, на которые эти прямые разделили АВ. равны между собой.
Отделим из них 2, поставим точку М. 
АМ:МВ=2:5.