Хелп прямая пересекает строны AB и BC треугольника ABC в точках M и K соответственно. Вершины данного треугольника равноудалены от прямой MK. Докажите, что точки М и К являются серединами сторон AB и BC соответсвенно. ​

Объяснение:

Расстояние от точки до прямой это длинна перпедикуляра от точки до прямой

1)Проведем МК, пусть АА₁⊥МК, ВВ₁⊥МК, СС₁⊥МК.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔАА₁М и ΔВВ₁М :

      ∠А₁АМ=90- ∠А₁МА

      ∠В₁ВМ=90-∠В₁МВ,    но ∠А₁МА=∠В₁МВ как вертикальные ,

значит  ∠А₁АМ=∠В₁ВМ.

2)Прямоугольные треугольники ΔАА₁М=ΔВВ₁М по катету и острому углу :АА₁=ВВ₁ по условию, ∠А₁АМ=∠В₁ВМ по п 1. В равных треугольниках соответственные элементы равны , значит АМ=МВ.Поэтому М-середина.

3)Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔСС₁К и ΔВВ₁К :

      ∠В₁ВК=90-∠В₁КВ

      ∠С₁СК=90-∠С₁КС,       но ∠С₁КС=∠В₁КВ как вертикальные ,

значит  ∠В₁ВК=∠С₁СК.

4)Прямоугольные треугольники ΔСС₁К=ΔВВ₁МК по катету и острому углу :СС₁=ВВ₁ по условию,  ∠В₁ВК=∠С₁СК  по п 3 , В равных треугольниках соответственные элементы равны , значит ВК=КС . Поэтому К-середина.

Даны точки A: [-12;-4] B: [-5;-6] C: [0;3] .

Координаты вектора BC: (0 - (-5); 3 - (-6)) = (5; 9).

Длина вектора AB = √((-5)² + (-12)²) = √(25 + 144)= √169 = 13.

Координаты середины отрезка AC: ((-12+0)/2=-6; (-4+3)/2=-0,5) = (-6; -0,5).

Периметр треугольника ABC.

Расчет длин сторон

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √53 ≈ 7,28011.

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √106 ≈ 10,29563.

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √193 ≈ 13,89244399.

Периметр равен Р = 31,46818.

Длина медианы BM. Точка М - середина АС:(-6; -0,5).

ВМ = √(-6-(-5))² + (-0,5-(-6))²) = √(1 + 30,25) = √31,25 ≈ 5,59017.

Дано :

Четырёхугольник ABCD - параллелограмм.

ВЕ = DF (Е ⊂ ВС, F ⊂ AD).

Доказать :

Четырёхугольник AECF - параллелограмм.

Доказательство :

В параллелограмме противоположные углы и противоположные стороны равны между собой (свойство параллелограмма).

Отсюда следует, что ∠В = ∠D, АВ = CD.

Рассмотрим ΔАВЕ и ΔCDF.

ВЕ = DF (по условию)

∠В = ∠D, АВ = CD (по выше сказанному) ⇒ ΔАВЕ = ΔCDF по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует и равенство сторон АЕ и CF.

AD = BC (по свойству параллелограмма), но в своё очередь AD = BE + EC ; BC = DF + AF. Учитывая равенство из условия получаем, что ЕС = AF.

Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник - параллелограмм (свойство параллелограмма).

АЕ = CF ;  ЕС = AF (по выше сказанному) ⇒ четырёхугольник AECF - параллелограмм.