Чи існує многокутник кожний кут якого дорівнює 165 градусів? До ть.

1. Пусть АВ ∩ α = О.
Прямые АА₁, ВВ₁, ММ₁ лежат в одной плоскости, которая пересекает плоскость α по прямой А₁В₁. Т.е. точки А₁, О, М₁, В₁ лежат на одной прямой.
ΔВВ₁О подобен ΔАА₁О по двум углам (углы при вершине О равны как вертикальные, ∠АА₁О = ∠ВВ₁О как накрест лежащие при пересечении АА₁║ВВ₁ секущей А₁В₁), значит
ВО : ОА = ВВ₁ : АА₁ = 4 : 6 = 2 : 3
ОА = 3/5 АВ
АМ = 1/2 АВ
ОМ = ОА - АМ = 6/10 АВ - 5/10 АВ = 1/10 АВ.

МО/АО = 1/10 / (3/5) = 1/6

ΔОММ₁ подобен ΔОАА₁ по двум углам (угол О общий, ∠ОММ₁ = ∠ОАА₁ как соответственные при пересечении ММ₁║АА₁ секущей АО), значит
ММ₁ : АА₁ = МО : АО = 1 : 6
ММ₁ = АА₁/6 = 1 см.

2. Проведем АН⊥α. Тогда АН = 2√2 дм, и СН - проекция АС на α, ВН - проекция АВ на α.
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
∠(АС; α) = ∠АСН
∠(АВ; α) = ∠АВН
ΔАСН: ∠АНС = 90°
             sin∠ACH = AH/AC = 2√2/4 = √2/2
∠ACH = 45°.

АВ = 4√2 дм как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника.

ΔАВН: ∠АНВ = 90°,
             sin∠ABH = AH/AB = 2√2/(4√2) = 1/2
∠ABH = 30°

3. Параллельные плоскости пересекают третью плоскость по параллельным прямым.
1) Плоскость ВС₁А₁ и параллельная ей плоскость α пересекают плоскость грани АА₁В₁В по параллельным прямым. Поэтому в этой грани строим среднюю линию треугольника ВА₁В₁ - KL, которая параллельна ВА₁.
KL - это отрезок, который лежит в плоскости α и в грани АА₁В₁В.
2) Проведем среднюю линию треугольника ВВ₁С₁ - КМ, она параллельна  ВС₁.
KLM - искомое сечение. Оно проходит через точку К и параллельно ВС₁А₁ (так как две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости).
3) ВС₁А₁ - равносторонний треугольник, так как его стороны являются диагоналями равных квадратов.
ВС₁ = С₁А₁ = А₁В₁ = 24√2 см
Sbc₁a₁ = BC₁²√3/4 = 576·2·√3/4 = 288√3 см²
ΔKLM подобен ΔВС₁А₁ по трем сторонам (стороны треугольника KLM в два раза меньше соответствующих сторон треугольника ВС₁А₁ как средние линии соответствующих треугольников).
k = 1/2.
Sklm = Sbc₁a₁ · k² = 288√3/4 = 72√3 см²

Для решения задачи нужно сделать рисунок. 

Углы при основаниях равнобедренной трапеции равны, а биссектрисы равных углов В и С делят их на равные половины. 

В треугольниках ВН₁С и ВН₂С  с общим основанием ВС углы при основании равны, следовательно, они равнобедренные. 

Углы Н₂ВН₁ и Н₂СН₁ состоят из половин смежных углов и поэтому равны 90°

 Катеты прямоугольных треугольников Н₂ВН₁ и Н₂СН₁ равны,  гипотенуза общая - треугольники равны, и их острые углы при гипотенузе Н₂Н₁ равны.

 Поэтому Н₁Н₂ - биссектриса угла ВН₁С и делит его на два по 30°.

Катет ВН₂ противолежит углу 30° и по свойству такого катета равен половине гипотенузы Н₁Н₂ ( или ВН₂=Н₁Н₂•sin30º)

Отрезок ВН₂=12:2=6см