Геометрия 8 класс уравнение окружности​

Задача:

Записать уравнение окружности, если точка А(2; 5) принадлежит окружности, а центр окружности имеет координаты О(7; −1).

Уравнение окружности имеет вид:

    (x − a)² + (y − b)² = R², где:

         (a; b) —  координаты центра (смещение от Oxy);

         (х; у) — координаты любой точки окружности;

         R — радиус окружности.

Отрезок AB — радиус окружности (R)

    |AB|² = (y₂ − y₁)² + (x₂ − x₁)²

    |AB|² = (−1−5)² + (7−2)²

    AB = √(6²+5²) = √(36+25) = √61

т. О(7; −1) ⇒ a = 7, b = −1.

Подставим значения в формулу (x − a)² + (y − b)² = R²:

(x − 7)² + (y + 1)² = 61

Уравнение окружности (x − 7)² + (y + 1)² = 61

Задача:

Проверить, принадлежит ли точка окружности, заданной уравнением x² + (y − 1)² = 25

Подставим значение координат точки и проверим, тождественно ли уравнение:

A(5; −1)

    5²+(−1−1)² = 25

    25+4 = 25

    29 ≠ 25 ⇒ т. A не принадлежит данной окружности

B(−5; 1)

    (−5)²+(1−1)² = 25

    25+0 = 25

    25 = 25 ⇒ т. B принадлежит окружности

C(0; 6)

    (0)²+(6−1)² = 25

    0+25 = 25

    25 = 25 ⇒ т. C принадлежит окружности

K(0; −6)

    (0)²+(−6−1)² = 25

    0+49 = 25

    49 ≠ 25 ⇒ т. K не принадлежит окружности

M(3; 5)

    3²+(5−1)² = 25

    9+16 = 25

    25 = 25 ⇒ т. M принадлежит окружности

Точки B(−5; 1), C(0; 6) и M(3; 5) принадлежат заданной окружности, точки A(5; −1) и K(0; −6) не принадлежат окружности.

Построим отрезок BC длины a. Центр O описанной окружности треугольника ABC является точкой пересечения двух окружностей радиуса R с центрами в точках B и C. Выберем одну из этих точек пересечения и построим описанную окружность S треугольника ABC. Точка A является точкой пересечения окружности S к прямой, параллельной прямой BC и отстоящей от нее на расстояние ha (таких прямых две).

8.2.

Построим точки A1 и B1 на сторонах BC и AC соответственно так, что  BA1 : A1C = 1 : 3 и AB1 : B1C = 1 : 2. Пусть точка X лежит внутри треугольника ABC. Ясно, что SABX : SBCX = 1 :  2 тогда и только тогда, когда точка X лежит на отрезке BB1, и SABX : SACX = 1 : 3 тогда и только тогда, когда точка X лежит на отрезке AA1. Поэтому искомая точка M является точкой пересечения отрезков AA1 и BB1.

8.3.

Пусть O — центр данной окружности,  AB — хорда, проходящая через точку P,  M — середина AB. Тогда |AP – BP| = 2PM. Так как РPMO = 90°, точка M лежит на окружности S с диаметром OP. Построим хорду PM окружности S так, что PM = a/2 (таких хорд две). Искомая хорда задается прямой PM.

8.4.

Пусть R — радиус данной окружности,  O — ее центр. Центр искомой окружности лежит на окружности S радиуса |R ± r| с центром O. С другой стороны, ее центр лежит на прямой l, параллельной данной прямой и удаленной от нее на расстояние r (таких прямых две). Любая точка пересечения окружности S и прямой l может служить центром искомой окружности.

8.5.

Пусть R — радиус окружности S,  O — ее центр. Если окружность S высекает на прямой, проходящей через точку A, хорду PQ и M — середина PQ, то OM2 = OQ2 – MQ2 = R2 – d2/4. Поэтому искомая прямая касается окружности радиуса  

Ц

 

R2 – d2/4

 

с центром O.

8.6.

Возьмем на прямых AB и CD точки E и F так, чтобы прямые BF и CE имели заданные направления. Рассмотрим всевозможные параллелограммы PQRS с заданными направлениями сторон, вершины P и R которых лежат на лучах BA и CD, а вершина Q — на стороне BC (рис. 8.1). Докажем, что геометрическим местом вершин S является отрезок EF. В самом деле,  

SR

EC

=   PQ

EC

=   BQ

BC

=   FR

FC

, т. е. точка S

бисектрисса треугольника делит противоположную сторону треугольника в таком отношении, в котором делятся оставшиеся стороны, т.е. bp/pc=ab/ac=4/10. т.к. pp1 || ac, то угол cpp1=углу cba и угол cp1p=углу cab (соответственные углы). отсюда следует, что треугольник cpp1 подобен треугольнику cba с коэффициентом подобия 10/10+4=10/14. отсюда следует, что pp1=4*10/14=40/14. аналогично qq1=8*1/3=8/3. rr1=10*8/18=80/18. отсюда следует, что 1/qq1+1/pp1+1/rr1=14/40+3/8+18/80=28/80+30/80+18/80=76/8

подробнее - на -