Скільки діаметрів можна провести у колі?

нескінченна кількість

Допустим AB =5 , BC =6 ,   BM =5 ,( AM =MC , M∈[AC] .

AC - ?
Продолжаем медиана и  на ней откладываем отрезок  MD=BE.   Соединяем полученную точку с вершинами.  Полученный  четырехугольник ABCD  параллелограмма. 
Для параллелограмм верно теорема_сумма квадратов диагоналей равно сумму квадратов сторон .AC²+BD² =  2(AB²+BC²)⇒AC²=2(AB²+BC²) - BD²   ||  BD=2BM=10 || 
AC² =2(5² +6²) -(2*5)²=22.
AC =√22.
ответ:  √22.

Или 
Из ΔAMB по теореме косинусов
AB² =AM² +BM² -2AM*BM*cos∠AMB         (1)
Аналогично из ΔCMB ,CB² =CM²+BM² -2CM*BM*cos(180° -∠AMB)    или
CB² =CM²+BM² +2CM*BM*cos∠AMB         (2)
Складывая уравнения (1) и  (2)  получаем :
AB²  +CB²= AM²+CM² +2BM² ;
AB²  +CB²= (AC/2)²+(AC/2)² +2BM² ;
AB²  +CB²= AC²/2 +2BM²  ;
2(AB²  +CB²)= AC² +(2BM)² ;   * * *AC² + BD² =2(AB²  +CB²)  ||   BD=2BM.* * 
AC²  = 2(AB²  +CB²) -(2BM)²

Даны координаты вершин треугольника АВС: A (-4;1), B (-2;4), С(1;2)​.

1) Расчет длин сторон

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √13 ≈ 3,605551275.

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √13 ≈ 3,605551275.

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √26 ≈ 5,099019514.

Есть ответ на одно задание - треугольник равнобедренный.

2) Получив значения длин сторон, найдём площадь по формуле Герона.

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)). Полупериметр р = 6,15506.

Подставив данные, получаем S = 6,5 кв.ед.

Можно применить формулу расчёта площади по координатам вершин треугольника.

Площадь треугольника ABC:      

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 6,5

.