Прямые PP1 и QQ1 перпендикулярны плоскости и пересекают плоскость соответственно в точках P1 и Q1. Известно, что PP1=21.5, QQ1=33.5, PQ=15. найти расстояние между прямыми PP1 и QQ1.

Предположим, что существует точка, расстояние от которой до любой вершины четырехугольника меньше 0.5. Тогда четырехугольник целиком лежит внутри окружности с центром в этой точке и радиусом 0.5. Диагональ четырехугольника - это отрезок, лежащий внутри окружности, так как его концы лежат внутри окружности. Значит, диагональ строго меньше диаметра окружности, то есть, меньше 1. Но если сумма диагоналей равна 2, значит, по меньшей мере одна диагональ не меньше 1. Получили противоречие. Значит, такой точки не существует и расстояние от любой точки плоскости до какой-то из вершин четырехугольника не меньше 0.5, что и требовалось.

3 АВ=ВМ, т.к. угол М тоже 45°, тогда МС=ВМ-3=АВ-3, а периметр 2АВ+2(АВ+МС)=24;  2АВ+2(АВ+АВ-3)=24; 6АВ-6=24;  АВ=30/6=5/см/, АВ= СD=5см; тогда МС=5-3=2/см/, AD=ВС=5+2=7/см/

4. ∠ОКР=10° как внутр. накрест лежащие при MN║РК и секущей NK;

∠ОКМ=90°-10°=80°;

∠ОКМ=∠ОNP=80°как внутр. накрест лежащие при MК║NР и  и секущей NK;

∠NPK=∠NMK=∠NPK=90°, т.к. противолежащие углы в параллелограмме равны. но тогда это треугольник, в нем диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам.

∠ОМК=∠ОКМ=80°, ∠ОМN=∠ONM=10°; ∠МОN=∠РОК=180°-10°-10°=160°, рвны как вертикальные, а другая пара вертикальных при вершине О равна по 20°, можно было ее получить и по свойству внешнего угла при вершине О.