Найдите объем конуса, развертка боковой поверхности которого является полукругом радиуса 15 см.

Длина дуги полуокружности развёртки равна L = πR = 15π.

Длина этой дуги равна длине окружности основания конуса:

L = 2πr.

Приравняем: 15π = 2πr.

Отсюда находим радиус окружности в основании конуса:

r = (15/2) см.

Можем найти высоту конуса:

H = √(L² - r²) = √(15² - (15/2)²) = ((15/2)*√3) см.

Объём конуса V = (1/3)πr²H = (1/3)π(15/2)²*((15/2)*√3) =

                             = (1/3)π(15/2)³*√3) ≈ 243,57 см³.

Хорошо, давайте решим эту задачу по шагам.

Для начала, давайте разберемся с тем, что такое взаимно перпендикулярные единичные векторы.

Перпендикулярные векторы — это такие векторы, которые образуют прямой угол между собой. Взаимно перпендикулярные векторы — это два вектора, каждый из которых перпендикулярен другому.

Единичные векторы — это векторы, длина которых равна 1. Например, вектор (1,0) и (0,1) являются единичными векторами, так как их длина равна 1.

Теперь, когда мы разобрались с определением взаимно перпендикулярных единичных векторов, давайте перейдем к решению задачи.

У нас есть треугольник ABC, где известны две стороны: AB = 3p - 4q и BC = p + 5q. Нам нужно найти длину высоты CD.

Чтобы найти длину высоты, нам понадобится знать площадь треугольника. Площадь треугольника можно вычислить по формуле: S = (1/2) * основание * высота.

В данной задаче, основание треугольника — это сторона BC = p + 5q, а высоту нам нужно найти.

Давайте обратимся к определению векторного произведения. Векторное произведение двух векторов A и B равно площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Пусть векторы A и B соответствуют сторонам треугольника: A = AB, B = BC.

Таким образом, площадь треугольника можно выразить через векторное произведение A и B по формуле: S = (1/2) * |A x B|, где |A x B| - модуль векторного произведения A и B.

Основание треугольника равно длине стороны BC = |B|, поскольку модуль вектора равен его длине.

Теперь мы можем выразить высоту как: высота = (2 * S) / основание = (2 * |A x B|) / |B|.

Нам осталось только найти векторное произведение A и B и модуль вектора B, чтобы получить ответ на задачу.

Так как п и q - взаимно перпендикулярные единичные векторы, мы можем найти векторные компоненты A и B.

Компоненты вектора AB = (x1, y1) можно найти, вычтя координаты точки B из координат точки A. Вектор AB = (3p - 4q, 0).

Компоненты вектора BC = (x2, y2) можно найти, вычтя координаты точки C из координат точки B. Вектор BC = (p + 5q, -p).

Теперь найдем векторное произведение A и B:

A x B = (x1, y1) x (x2, y2) = x1 * y2 - y1 * x2 = (3p - 4q) * (-p) - 0 * (p + 5q) = -3p^2 + 4pq.

Наконец, найдем модуль вектора B:

|B| = sqrt((p + 5q)^2 + (-p)^2) = sqrt(p^2 + 10pq + 25q^2 + p^2) = sqrt(2p^2 + 10pq + 25q^2).

Теперь мы можем выразить длину высоты CD:

длина CD = (2 * |A x B|) / |B| = (2 * (-3p^2 + 4pq)) / sqrt(2p^2 + 10pq + 25q^2).

Это и есть окончательный ответ на задачу. Длина высоты CD равна (2 * (-3p^2 + 4pq)) / sqrt(2p^2 + 10pq + 25q^2).

1. Возможные случаи взаимного расположения прямой b и плоскости о. зависят от их взаимного расположения с прямой а.
- Если прямая а пересекает прямую b, то прямая b скрещивается с плоскостью о. В этом случае прямая b будет пересекать плоскость о в точке пересечения с прямой а.
- Если прямая а и прямая b параллельны, то прямая b будет параллельна плоскости о. Поскольку прямая b не пересекает прямую а, она не будет пересекать и плоскость о.

2. Для данного вопроса, нам нужно доказать, что если плоскость а и прямая а параллельны одной и той же прямой b, то прямые а и а либо параллельны, либо совпадают.

Доказательство:
Пусть прямая а и прямая а не параллельны и не совпадают.

Поскольку прямая а и прямая а параллельны прямой b, существует плоскость о, которая пересекает прямую а и прямую а, и параллельна прямой b.

Рассмотрим две точки на прямой а: A1 и A2, и лежащие в плоскости о.

Так как прямая а и прямая а не совпадают и не параллельны, то точки A1 и A2 лежат в различных полуплоскостях, образованных прямой b.

Заметим, что плоскость о должна пересекать обе полуплоскости, так как прямая а и прямая а пересекаются в ней.

Однако, это невозможно, так как плоскость о параллельна прямой b.

Таким образом, предположение о том, что прямая а и прямая а не параллельны и не совпадают было ошибочным.

Значит, прямые а и а либо параллельны, либо совпадают.