Отметьте все неверные ответы. Дан треугольник АВС, ∠С = 90°, СН – высота, ∠А = 57°. Найдите ∠1, ∠2, ∠3. Варианты ответов: 1)∠1 = 33°, ∠2 = 57°, ∠3 = 33° 2)∠1 = 57°, ∠2 = 57°, ∠3 = 33° 3)∠1 = 33°, ∠2 = 57°, ∠3 = 57° 4)∠1 = 33°, ∠2 = 33°, ∠3 = 57°

Объяснение:234 неверные

2,3,4-неверные ответы.

Значит верный-1.

ответ:Сумма смежных углов равна 180 градусов

Номер 1

а)<1=Х

<2=2Х

Х+2Х=180

3Х=180

Х=180:3

Х=60

<1=60 градусов

<2=60•2=120 градусов

б)<1=1

<2=0,8

1+0,8=1,8 частей

Одна часть равна

180:1,8=100

<1=100 градусов

<2=100•0,8=80 градусов

Номер 2

При пересечении двух прямых получается две пары вертикальных углов,противоположные углы равны между собой

а)<1=<3=21 градус,как вертикальные

<2=<4=(360-21•2):2=(360-42):2=

318:2=159 градусов,как вертикальные

б)Узнаём,чему равен 4 угол

360-325=35 градусов,тогда

<1=<3=35 градусов,как вертикальные

<2=<4=(360-35•2):2=(360-70):2=

290:2=145 градусов,как вертикальные

Объяснение:

– катеты; AB=c – гипотенуза.

Также в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна : .

Для прямоугольного треугольника также верна теорема Пифагора: .

Введём теперь понятие синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника

Определение

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

, .

Определение

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.

, .

Определение

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему катету.

, .

Связь катетов и гипотенузы, двух катетов через тригонометрические функции угла

С введённых понятий можно находить катеты или гипотенузу.

Например, из формулы: . Аналогично: .

Также можно получить формулу для связи длин двух катетов: .

Связь синуса и косинуса двух острых углов прямоугольного треугольника

При решении задач очень важно знать соотношения между синусом, косинусом и тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

Рассмотрим следующие две формулы: . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:

Аналогично получаем: . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:

Формула, связывающая тангенс с синусом и косинусом

Докажем теперь важную формулу, связывающую тангенс с синусом и косинусом:

Доказательство независимости значения тригонометрических функций от размеров треугольника

Доказательство

Запишем определение синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника: , . Тогда: . Доказано.

Аналогично: .

Рассмотрим следующую важную задачу.

Задача

Даны прямоугольные треугольники . Кроме того, .

Доказать:.

Доказательство

(так как оба треугольника прямоугольные с равными острыми углами). Значит, выполняется следующее соотношение: .

Отсюда получаем: .

.

.

Доказано.

Вывод: синус, косинус и тангенс не зависят от треугольника, а зависят только от угла.

Основное тригонометрическое тождество

Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем, связывающих синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника, – основное тригонометрическое тождество.

Основное тригонометрическое тождество: .

Примечание:

Доказательство

, тогда:  (при доказательстве мы пользовались теоремой Пифагора: ).

Доказано.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий связь тригонометрических функций.

Решение примера

Дано:  – прямоугольный (), .

Найти:

Решение

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: . Подставим в него известное нам значение синуса: . Отсюда: . Так как косинус, по определению, – это отношение катета к гипотенузе, то он может быть только положительным, поэтому: .

Найдём теперь тангенс угла, пользуясь формулой: .

ответ: .

На этом уроке мы рассмотрели понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, вывели некоторые их свойства и формулы связи между этими величинами. На следующем уроке мы познакомимся со значениями синуса, косинуса и тангенса для некоторых конкретных значений углов.

Список литературы

Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" (Источник).

Xvatit.com (Источник).

Egesdam.ru (Источник).

Домашнее задание

№ 133(а-г), 134(а-г), Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

Найдите синус, косинус и тангенс наименьшего угла египетского треугольника.

Найдите косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен .

Связь числа и геометрии. Часть 1. Измерения в геометрии. Свойства фигур