На рисунке 46 FN=NE, ∠MEP=∠BEP. Докажите, что прямые ЕВ и FN параллельны.

Треугольник FNE - равнобедренный, т. к. FN = NE.

Угол EFN = углу FEN (равнобедренный т-к) = углу МЕР (вертикальные углы) = X.
Рассмотрим углы END и угол MEB, они равны, т. к. угол END равен сумме несмежных с ним угов (EB и FN), т.е. он равен 2Х. Угол MEB = Х + Х = 2Х. Следовательно, эти углы равны. Они являются соответственными.
Прямые параллельны если соответственные углы равны ч.т.д.

точку пересечения отрезков обозначим за О. 

1)Рассмотрим треугольники ВОС и AOD, они равны, т.к. ВО=OD, ОА=ОС, а угол ВОС=углу AOD, как вертикальные  при пересекающихся прямых.

Из этого следует, что  ВС=AD, как соответственные элементы равных треугольников.

2)Рассмотрим треугольники ВОА и COD, они равны, т.к. ВО=OD, АО=ОС, а угол ВОА=углуCOD,  как вертикальные  при пересекающихся прямых. 

Из этого следует, что АВ=CD

3)Рассмотрим треугольники АВС и ADC, они равныпо трем сторонам ( АС-общая, AB=CD, AD=BC из доказательств)

точку пересечения отрезков обозначим за О. 

1)Рассмотрим треугольники ВОС и AOD, они равны, т.к. ВО=OD, ОА=ОС, а угол ВОС=углу AOD, как вертикальные  при пересекающихся прямых.

Из этого следует, что  ВС=AD, как соответственные элементы равных треугольников.

2)Рассмотрим треугольники ВОА и COD, они равны, т.к. ВО=OD, АО=ОС, а угол ВОА=углуCOD,  как вертикальные  при пересекающихся прямых. 

Из этого следует, что АВ=CD

3)Рассмотрим треугольники АВС и ADC, они равныпо трем сторонам ( АС-общая, AB=CD, AD=BC из доказательств)