На рисунку точка О- центр кола, ABC = 32°. ЗнайтиAOC.​

Угол ABC-вписанный угол. который равен 32°

по теореме - вписанный угол равен половине центрального угла, опирающего на одну и ту же дугу, значит 32°*2=64°

ответ : <АОС=64°

Объяснение:

Введем обозначения:
r - радиус окружности, вписанной в большой треугольник,
r₁ - радиус окружности, вписанной в синий треугольник,
r₂ - радиус окружности, вписанной в коричневый треугольник.

Будут использованы формулы:
h² = a₁b₁
a² = a₁c
b² = b₁c

Большой треугольник:
r = (a + b - c)/2 = (√(a₁c) + √(b₁c) - √(c²))/2 = √c·( √a₁ + √b₁ - √c)/2

Синий треугольник:
r₁ = (a₁ + h - a)/2 = (√(a₁)² + √(a₁b₁) - √(a₁c))/2 = √a₁·(√a₁ + √b₁ - √c)/2

Коричневый треугольник:
r₂ = (h + b₁ - b) /2 = (√(a₁b₁) + √(b₁)² - √(b₁c))/2 = √b₁·(√a₁ + √b₁ - √c)/2

r₁/r = √a₁/√c
r₂/r = √b₁/√c

Так как длины радиусов - целые числа, то с, a₁ и b₁ должны быть квадратами целых чисел.
Наименьший квадрат целого числа, который является суммой квадратов целых чисел, это 25  (25 = 9 + 16)
Тогда,

r₁/r = 3/5
r₂/r = 4/5

Так как радиусы должны быть наименьшими, это 3, 4 и 5.

А) Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике = 90°.
 Пусть один угол из них = х, тогда второй острый угол = 90° - х
б) сумма внешних углов = 180°
Для угла = х внешний угол = 180° -х
для другого угла внешний угол = 180° -(90° -х) = 180° - 90° +х= 90° +х
в) (180° - х)/(90° +х) =12/15
   (180° - х)/(90° +х) =4/5
   5(180° - х) = 4(90° +х) 
    900 - 5х = 360 + 4х
     9х = 540
     х = 60° ( это один острый угол данного прямоугольного треугольника)
90° - 60° = 30°( это второй острый угол)
ответ: 60°  и  30°