Две стороны треугольника ровняються 7√2 см и 10 см, а угол между ними равен 45°. Найдите площадь​

 

Все стороны ромба равны между собой.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам.

Рассмотрим  рисунок к задаче.
Стороны четырехугольника abcd - средние линии треугольников, образованных сторонами ромба и их диагоналями.

Пусть аd=х
Пусть dc=у
Поскольку аd=ВО ( половине ВD), а
dc=АО (половине АС)
то ВО=х
АО=у

Тогда из прямоугольного треугольника АВО

х² +у² =30²

Полупериметр прямоугольника abcd=84:2=42 
х+у=84:2=42
Выразим у через х
у=42-х
Подставим это значение в первое уравнение:
х² +(42-х)² =30²
х²+1764-84х+х²=900
2х²-84х+864=0

По формуле неприведенного квадратного уравнения ( можно и через дискриминант) найдем х

..................________
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

x = (84 ± √‾(7056 - 6912)) / 4
х1=24
х2=18
Пусть х=24   тогда
у=42-24=18  
S abcd=18*24=432  

Дана пирамида SABCD с основанием ABCD - ромб со стороной 2√3 и острым углом 30°. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковым углом 60°, значит вершина пирамиды S проецируется в центр основания - точку пересечения диагоналей ромба.
Начнем с того, что объем пирамиды равен:
V=(1/3)*So*H, где So - площадь основания, а Н - высота пирамиды.
So - площадь ромба (основание - ромб - дано) и как площадь любого параллелограмма, равна So=a*b*Sinα, где a и b -стороны, а α - угол между ними. У нас стороны ромба равны и
So=a²*Sin30 = 12*(1/2)=6 ед².
Высоту ромба найдем из другой формулы площади:
So=a*h, где h - высота, опущенная на сторону "а".
h =S/a = 6/(2√3)=√3. Естественно, половина этой высоты равна √3/2.
Рассмотрим в нашей пирамиде прямоугольный треугольник SOM, где SO - высота пирамиды (катет), OM - половина высоты ромба (второй катет), равный половине высоты ромба (так как точка О - центр ромба) и SM - высота боковой грани. Так как <SMO=60° (дано), то SM=2*OM=√3.
По Пифагору SO=√(SM²-OM²)=√(3-3/4)=√(9/4)=3/2.
Это высота пирамиды.  Тогда ее объем равен:
V=(1/3)*6*(3/2)=3 ед³.