Точки A (0; 5), B (6; 8), C (10; 0), D (0; –5) – вершины прямоугольной трапеции с основаниями AB и CD. Найдите длину её средней линии и площадь трапеции.

длина средней линии трапеции АВСD MN= 4√5

Площадь трапеции ABCD Sтр=80

Ребра тетраэдра по условию равны, следовательно, он правильный и все его грани - правильные треугольники.    

 Каждая сторона сечения соединяет середины сторон такого треугольника и, как средняя линия соответствующей грани, равна половине   параллельного ей ребра. 

Скрещивающиеся ребра  правильного тетраэдра перпендикулярны. DC⊥АВ⇒СD⊥MN, т.к. MN||АВ. 

КN||CD⇒ KN⊥MN. Аналогично доказывается перпендикулярность всех соседних сторон сечения KLMN . Следовательно сечение- квадрат со стороной 38:2=19. 

Площадь сечения  19²=361 (ед. площади)

Ну очевидно, что длина ребра равна 6 см, а половины ребра 3 см. Скрещивающимися являются любое вертикальное ребро и две пары горизонтальных ребер (два ребра на верхнем и два ребра на нижнем основаниях, не пересекающиеся с данным вертикальным ребром. Расстояние между их серединами равно √(3^2+6^2+3^2)=√(54)=3*√(6) см. Чтоб было понятнее, представь, что куб разрезан пополам плоскостью, параллельной одной из граней. Получившаяся пластинка снова разрезана пополам, но плоскостью, параллельной другой грани. Получился параллелепипед с размерами 3х3х6 см. Искомое расстояние является диагональю этого параллелепипеда.