Вписане в рівнобедрений трикутник коло ділить бічну сторону у відношенні 2 : 3, починаючи від основи. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 70 см.

Проведем высоту из угла С прямоугольного треугольника ABC на гипотенузу AC. Из условия задачи ясно, что AC=15 см, CK=9 см. Заметим, что треугольники ABC  и ACK подобны по двум углам. У треугольника ABC - угол С прямой, у треугольника ACK - угол К прямой. Угол А у этих треугольников общий. Выполняется признак подобия по 3-м углам. Узнаем коэффициент подобия этих треугольников. К углу А прилежащим катетом в треугольнике АВС будет сторона АС, а в треугольнике АСК, прилежащей к углу А будет сторона АК. Значит коэффициентом подобия этих треугольников будет отношение сторон АС и АК.

 

 

Вычислить площадь треугольника АКС - нетрудно. Надо узнать сторону СК по теореме Пифагора

 

 

 

 

 

CК=12 см.

 

Площадь треугольника АКС равна половине произведения АК на АС.

 

 

.

 

Так как треугольники подобны, то площадь треугольника АВС равна произведению квадрата подобия этих треугольников на площадь треугольника АКС

 

 

 

 

 

ответ:

Поправка к условию:
Периметр треугольника равен 9√3 см.

Сторона правильного треугольника:
а = Рabc/3 = 9√3/3  = 3√3 см

SO - перпендикуляр к плоскости треугольника.
Так как S равноудалена от вершин треугольника, SA = SB = SC, и
ΔSOA = ΔSOB = ΔSOC по гипотенузе и общему катету (SO).
Значит О - равноудалена от вершин, т.е. О - центр вписанной и описанной окружности для правильного треугольника.

ОА - радиус описанной окружности:
ОА = а√3/3 = 3√3·√3/3 = 3 см

ΔSOA: ∠SOA = 90°, по теореме Пифагора
             SA = √(SO² + OA²) = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = 5 см

ответ: 5 см