В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 37 градусов.Найдите угол, заключённый между боковыми сторонами.

У равнобедренного треугольника углы при основании равны, значит :

180°-(37°+37°)=106°

Ну, раз такие задачи тут мелькают, придется сказать пару ласковых слов.

1. Уж не ждите, что в подобных задачах я стану "разжевывать" решение.

2. Всю теорию, которую я буду использовать, я буду считать априори известной автору такой задачи. Поэтому не ждите от меня краткого изложения учебника геометрии.

3. Все "спорные" моменты выносите на обсуждение, только если другого выхода нет. Попытки задать вопрос вроде "а почему 2х2?" будут жестоко высмеяны и оставлены без ответа. 

4. Жаловаться не надо - сами виноваты, надо было разобраться.

"Решение", которого нет...

Пусть стороны, имеющие с биссектрисой l общую вершину - a и c, а сторона, которую нужно найти - b.

Сразу видно, что

b/(a + c) = 2/3; 

Поэтому сторона b делится биссектрисой на два отрезка (2/3)*а и (2/3)*с;

Если предположить, что треугольник равнобедренный, то найти стороны не составляет труда.

с = а = 6*корень(5); b = (2/3)*(а + c) = 8*корень(5);

Теперь проведем через точку О (пересечение биссектрис) и концы основания этого равнобедренного треугольника окружность.

Легко видеть, что это - окружность Апполония для биссектрисы l при отношении 2/3; (: обожаю этот момент :

Параметры этой окружности таковы - радиус R = 12, центр расположен на прямой, содержащей биссектрису, на расстоянии 8 от пересечения со стороной b, за ней, конечно, то есть на расстоянии 12 от точки О и 18 от "начала" биссектрисы.

Поэтому в задаче нет однозначного решения, а полученный результат для равнобедренного треугольника b = 8*корень(5) является минимальным решением задачи. Максимальное решение получается при угле при вершине, равном нулю, при этом b равно диаметру окружности Апполония, то есть 24.

Любой треугольник, концы строны b которого лежат на построенной окружности, а хорда b проходит через конец биссектрисы, соответствует условию задачи.

Это всё :

Дан прямоугольник ABCD, ∠CAD:∠CAB=4:5.

Углы прямоугольник равны по 90°.

Пусть ∠CAD=4x, тогда ∠CAB=5x.

∠CAD+∠CAB=∠DAB

4x+5x=9x=90°

x=90°:9=10°

∠CAD=4x=40°

Диагонали в прямоугольнике делятся точкой пересечения пополам.

Пусть AC∩BD=O, тогда AO=DO

В равнобедренном ΔAOD (O-вершина) углы при основании равны. ∠ODA=∠OAD=40°. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Откуда ∠AOD=180°-∠ODA-∠OAD=180°-40°-40°=100°

∠AOD>90° ⇒ угол между диагоналями это ∠AOB, смежный с ∠AOD.

∠AOB=180°-∠AOD=180°-100°=80° по свойству смежных углов.

ответ: 80.