Прямокутні трикутники з відповідно проведеними катетами ​

1. Он прямоугольный, т.к. квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других.

 

2. Т.к. АВС равнобедренный, то, очевидно, точка касания с другим бедром - АВ - будет делить его в таком же отношении. Далее вводим коэффициент пропорциональности х.

Теперь смотрим на основание. По теореме об окружности, вписанной в угол, мы имеем, что расстояния от вершины угла (в данном случае точки А и С со вписанной окружностью) до точек касания равны. Так, получается, что основание равно 10х.

 

Складываем все стороны и вычисляем х через известный периметр. Из этого находим все стороны треугольника.

Если все стороны известны, то площадь можно найти по формуле Герона.

1. АВ пересекает Окр(O;r) = D

2.  ВС и ВА, СА и СВ, АС и АВ - касательные к окружности.

     По свойству касательных (если из некотрой точки S проведены две касательные a и b к окружности, то отрезки касательных  от точки S до точек касания А и В равны) BM=BD, КС=CM, AK=AD

2. Катет СВ=СМ+ВМ=4+8=12

3. Выразим отрезки касательных АК и АD через х.

    Катет АС=КС+х, КС=4+х гипотенуза АВ=ВD+х, АВ=8+х

4. По теореме Пифагора: 

    АВ² = АС² + СВ²

    (8+х)² = (4+х)² + 12²

    64+16х + х² = 16 + 8х + х² + 144

    16х + х² - 8х - х² = 16 + 144 - 64

     8х = 96

      х = 12

Следовательно, АК=12

ответ: АК=12