11.19 около прямоугольника со сторонами 12 см и 16 см описана окружность. найдите радиус этой окружности.

1. Высота CD — это перпендикуляр, проведенный из вершины к противолежащей стороне. Значит ∠ВDС = ∠CDA = 90°.

Зная это, мы можем найти ∠ACD.

∠ACD = ∠CDA −∠CAD = 90° − 60° = 30° (согласно 1-му свойству прямоугольных треугольников: «сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°»)

2. Теперь узнаем, чему равен угол BCD и угол DBC:

∠BCD = ∠ACB −∠ACD = 90° − 30° = 60°

∠DBC = ∠ВDС −∠BCD = 90° − 60° = 30°

3. Теперь, зная чему равны все углы треугольника, мы можем найти длину высоты CD, применяя 2-е свойство прямоугольных треугольников: «катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы»

Т.к. в треугольнике CBD катет BC лежит перед прямым углом CDB, теперь он будет являться гипотенузой этого треугольника.

Значит, CD = ¹/₂BC

CD = 5 ÷ 2 = 2,5.

ответ: ∠BCD = 60°; CD = 2,5 см.

Задача: Дан ΔABC — равнобедренный, AC = BC = 10, AB = 16. Найти tg A, sin A.

Проведем высоту CH в ΔABC к стороне AB. Образуется два равных треугольника, т.к. ΔABC равнобедренный. AH = HB = 16/2 = 8.

Р-м ΔACH:

∠AHC = 90°, т.к CH — перпендикуляр к AH (AH∈AB) ⇒ ΔACH — прямоугольный.

Синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Найдем катет CH за т. Пифагора:

Тогда синус ∠A будет равен:

Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

ответ: tg A = 0,75; sin A = 0,6.