У прямокутному рівнобедреному трикутнику TВС TВ=ВС=12√2см, RВ-перпендикуляр, проведений до площини цього трикутника, RВ=9см. Знайдіть довжину перпендикуляра, проведеного з точки R до сторони TС. Знайдіть площу трикутника TСR.

Пусть в треугольнике АВС основание  АС = 1 и на боковой стороне АВ отложен отрезок ВД = 1.
Сторона АВ = (1/2)/cos 80° = (1/2)/ 0,173648 =  2,879385.
ВД = АВ - 1 =  2,879385 - 1 =  1,879385.
По теореме косинусов находим сторону СД треугольника ВСД.
Угол В = 180° - 2*80° = 180°-160° = 20°.
СД = √(1²+2,879385-2*1*2,879385*сos20°) =  1,9696155.
Определяем углы треугольника ВСД по теореме синусов.
 sin ВСД / ВД = sin20°/ СД,
 sin ВСД =  sin20°*1/1,9696155 =  0.1736482
Угол ВСД = 0.1745329 радиан или  10 градусов.
Угол ВДС = 180° - 20° - 10° = 150°.

Переходим к треугольнику АДС.
Угол А по заданию равен 80°.
Угол ДСА = 80°-10° = 70°.
Угол АДС = 180° - 150° = 30°.

Выделяем полные квадраты:
для x:
(x²-2•2x1 + 2²) -1•2² = (x-2)²-4
для y:
2(y²+2•5/2y + (5/2)²) -2•(5/2)² = 2(y+5/2)²-(25/2)
В итоге получаем:
(x-2)²+2(y+5/2)² = 55/2
Разделим все выражение на 55/2
(2/55)*(x-2)²+(4/55)*(y+(5/2))² = 1. Это уравнение эллипса.

Полуоси эллипса: а=√(55/2), в = √55/2.

Данное уравнение определяет эллипс с центром в точке:
C(2; -5/2)
Найдем координаты фокусов F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами

Итак, фокусы эллипса:F1((-1/2)*√55;0),
                                   F2((1/2)*√55;0).

С учетом центра, координаты фокусов равны:
                                   F1((-1/2)*√55+2;(-5/2)),
                                   F2((1/2)*√55+2;(5/2)).

Тогда эксцентриситет будет равен:≈ 0,71.