Зовнішній кут трикутника дорівнює 110°. Знайти суму двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним.

1.
М - середина АВ, значит МВ = АВ/2
Р - середина МВ, значит РВ = МВ/2 = АВ/4

К - середина ВС, значит КС = ВС/2
Е - середина КС, значит ЕС = КС/2 = ВС/4

N - середина АС, значит NA = АС/2
G - середина NA, значит GA = NA/2 = AC/4

По условию
PB + EC + GA = 12
АВ/4 + ВС/4 + АС/4 = 12
1/4 · (АВ + ВС + АС) = 12
АВ + ВС + АС = 12 · 4 = 48 (см)

2.

Из решения первой задачи следует, что

АР = 3/4 АВ
ВЕ = 3/4 ВС
CG = 3/4 AC

По условию
AP + BE + CG = 108
3/4 АВ + 3/4 ВС + 3/4 АС = 108
3/4 · (АВ + ВС + АС) = 108
АВ + ВС + АС = 108 · 4/3 = 144 (см)

  Для начала найдем неизвестные угол и стороны ∆ АКЕ. Сумма углов треугольника 180° => угол КАЕ=180°-(54°+60°=66°

 По т.синусов АЕ=АК•sin54°/sin60°. KE=AK•sin66°/sin60°

sin60°=0.8660;  sin54°= 0.8090;  sin66°=0.9135

AE=20•0,8090/0,8660=18,683≈18,7 см;  KE=20•0,9135/0,8660=21,097≈ 21,1 см      

 Стороны  и углы треугольника ВСD  имеют те же значения, что и соответствующие углы и стороны ∆ АКЕ, но в условии не указано, какие именно элементы двух треугольников равны. Если в ∆ ВСD сторона ВС=АК, и ∠D=∠Е, то ∠В=∠А=66°,∠С=∠К=54°,  ВС=20 см, ВD=AE≈18,7= см, CD=KE≈21,1 см