Востроугольном треугольнике авс из середины d стороны вс проведены перпендикуляры de и df к сторонам ав и ас соответственно так, что угол bde равен углу cdf. докажите , что треугольник авс равнобедренный.

рассмотрим треугольник вде и cдf-прямоугольные(т.к. де, дf- перпендикуляры)

вде=сдf-по условию

bd=cd- по условию

значит,вде=cdf(по гипотенузе и острому углу) и угол евд=дсf, значит,авс равнобедренный

проведем сечение параллельно основанию через центр шара. в сечении будет трапеция, равная основанию, и вписанная в нее окружность с радиусом, равным радиусу шара. сумма боковых сторон трапеции равна сумме оснований, тогда боковая сторона равна 20. проведем высоту из тупого угла трапеции, получим прямоугольный треугольник с гипотенузой 20 и катетом (36-4)/2=16. по теореме пифагора, второй катет - высота - равен 12. высота равна диаметру круга в сечении, а высота призмы также равна диаметру круга в сечении. площадь призмы равна произведению площади основания на высоту, а площадь основания равна полусумме оснований трапеции, умноженной на высоту, и равна 240. тогда объем равен 240*12=2880.

обозначим параллелепипед авсда1в1с1д1. соединим а и в1, д и в1. диагональ параллелепипеда образует угол ав1д  с плоскостью боковой грани.поскольку угол между прямой и плоскостью это угол между прямой и её проекцией на плоскость.ав1 это проекция в1д на плоскость аа1в1в(точка в у них общая , точка а является проекцией точки д, поскольку ад перпендикуляр). аналогично в отношении угла в1дв. угол ав1д=45, угол вад прямой значит и в1да=45, и треугольник ав1д -равнобедренный. тогда ав1=ад=5 корней из5. по теореме пифагора в1д=корень из(ав1квадрат+адквадрат)=10. тогда вв1=в1д/2=5 как катет лежащий против угла в1дв=30.    ав=корень из (ав1квадрат-вв1квадрат)=5. объём параллелепипеда v=abc=ав*ад*вв1=5*5кор.из2*=125корней из2.