К окружности с центром в точке O проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB=40, AO=41

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания → ΔAOB- прямоугольный → по теореме Пифагора OB=R=.

Правильное условие задания:

Стороны основания прямого параллелепипеда равны 2 см и 2√3 см, а один из углов основания равен 30 °. Площадь диагонального сечения параллелепипеда, который проходит через меньшую диагональ основания, равен 8 см². Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

В ΔABD применим теорему косинусов:

BD² = AB² + AD² - 2•AB•AD•cos∠BAD

BD² = 2² + (2√3)² - 2•2•2√3•cos30° = 4 + 12 - 8√3•(√3/2) = 16 - 12 = 4

BD² = 4   ⇒   BD = 2 см

Площадь диагонального сечения:  S (bb₁d₁d) = 8 см²

BB₁D₁D - прямоугольник  ⇒  S = BD • B₁B = 2 • B₁B = 8  ⇒  B₁B = 4 см

Площадь полной поверхности параллелепипеда:

S (полн.) = 2•S (осн.) + S (бок.) = 2 • S (осн.) + P (осн.) • H = 2•(AB•AD•sin30°) + 2•(AB + AD)•B₁B = 2•(2•2√3•sin30°) + 2•(2 + 2√3)•4 = 4√3 + 16 + 16√3 = 20√3 + 16  cм²

ответ: 20√3 + 16  см²

Дополнительное построение: EA||BD, FA||CD, G - середина FB.

AE=BD, AF=CD, EB=FC=AD (как противоположные стороны параллелограммов)
AD=3BC, FB=FC-BC=2BC, EF=EB-FB=BC, FG=GB=FB/2=BC

AB⊥CD => AB⊥AF, ∠FAB=90°
AG=FB/2=BC (медиана из прямого угла равна половине гипотенузы)

AG=EF=FG=GB=BC=y
AE=BD=2x
AC=3x
AF=CD=a
AB=b

△FAB (по теореме Пифагора):
a^2 +b^2 =4y^2

-------
Медиана через стороны треугольника (теорема Аполлония):
Mc= √(2a^2 +2b^2 -c^2)/2
-------

AG - медиана △FAB
y= √(2a^2 +2b^2 -4y^2)/2

AG - медиана △EAC
y= √(8x^2 +18x^2 -16y^2)/2

√(2a^2 +2b^2 -4y^2)/2 = √(8x^2 +18x^2 -16y^2)/2 <=>
a^2 +b^2 = 13x^2 -6y^2 <=>
4y^2 = 13x^2 -6y^2 <=>
10y^2 = 13x^2 <=>
y^2= 1,3x^2

AF - медиана △EAG
a= √(8x^2 +2y^2 -4y^2)/2 =√(8x^2 -2y^2)/2

AB - медиана △GAC
b= √(18x^2 +2y^2 -4y^2)/2 =√(18x^2 -2y^2)/2

a/b= √(8x^2 -2y^2)/2 ÷ √(18x^2 -2y^2)/2 =
√[ (4x^2 -y^2)/(9x^2 -y^2) ] =
√[ (4x^2 -1,3x^2)/(9x^2 -1,3x^2) ] =
√(2,7x^2/7,7x^2) = √(27/77)

CD/AB = √(27/77)