Лёгкая задача! Отрезки AB, AD, AC, AK имеют общую точку A. Постройте эти отрезки. Сколько решений имеет задача

Даны отрезки AB, AD, AC, AK с общей точкой А, расположенные по одной прямой.

Пусть все они направлены вправо от точки А.

Тогда число вариантов их расположения равно 4! = 1*2*3-4 = 24.

С таким же успехом их можно отложить влево.

Итого вариантов 48.

Объяснение:

1. В прямоугольных треугольниках Δ ADN и  Δ DFC  ∠A = ∠ C по свойству параллелограмма. ⇒ Треугольники подобны по первому признаку. На основе пропорциональности длин сходственных сторон имеем пропорцию:

AD/DC = DN/DF/

DF = 3.5*4/5 = 2.8

2. В треугольниках CFM и CAB ∠F = ∠ A, ∠ M = ∠ B как соответственные при FM║AB. ⇒ Треугольники подобны по первому признаку.

AC/CF = AB / FM

FM = 18*30/(18+27) = 12

AC/CF = CB/CM

CB = 45*15/18=37.5

ВМ = СВ - СМ = 37.5 - 15 = 22,5

3. В треугольниках АВС и ВСD ∠ C общий, ∠В = ∠D по условию задачи ⇒ Треугольники подобны по первому признаку.

АВ/AС = BD / BC

AC = 9*15.6/12 = 11.7

4. В прямоугольных треугольниках АВС и АМF ∠А общий. ⇒ Треугольники подобны по первому признаку.

АС/ВС = AF/MF

АС = 24*9/12 = 18

АВ/ВС = АМ/MF.

AM найдем по теореме Пифагора = √(9²+12²) = 15

АВ = 24*15/12=30

Задача №3 решена Пользователем
Nelle987 Ведущий Модератор Знаток

1. Высоты треугольника пересекаются в одной точке, значит высота, проведенная к стороне АС, так же проходит через точку Н.
ΔВНА₁: ∠А₁ = 90°, по теореме Пифагора
               ВН = √(ВА₁² + А₁Н²)  = √(16 + 9) = √25 = 5
ΔВА₁Н подобен ΔАВ₁Н по двум углам (∠ВА₁Н = ∠АВ₁Н = 90°, углы при вершине Н равны как вертикальные),
ВН : АН = А₁Н : НВ₁
5 : 4 = 3 : НВ₁
НВ₁ = 3 · 4 / 5 = 12 / 5 = 2,4
ВВ₁ = ВН + НВ₁ = 5 + 2,4 = 7,4

2. Точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника - центр описанной окружности.
Углы АОВ, ВОС и АОС - центральные, а углы АСВ, ВАС и АВС - вписанные, опирающиеся на одну дугу с соответствующим центральным.
Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу.

∠ВАС = 1/2 ∠ВОС = 70°
∠АВС = 1/2 ∠АОС = 60°
∠АСВ = 1/2 ∠АОВ = 50°

3.
Прямые, содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке. Тогда прямая, на которой лежит высота к стороне МК , так же проходит через точку О.
OA – высота.
S(МНКО) = S(MOK) - S(MHK) = 1/2 · (OH + HA) · MK - 1/2  · HA · MK = 1/2 · OH · MK
S(МНКО) = 1/2 · 5 · 10 = 25