Окружности с центрами в точках P и Q пересекаются в точках K и L, причём точки P и Q лежат по разные стороны от прямой KL. Докажите, что прямые PQ и KL перпендикулярны.

НИЖЕ

Объяснение:

На отрезке KL возьмем т.О так что КО=ОL

Радиусы окружности ,с центром Р, равны ⇒ ΔРОК-равнобедренный  , медиана РО является высотой.

Радиусы окружности ,с центром Q, равны ⇒ ΔQОК-равнобедренный  , медиана  QO является высотой.

Из  точки О исходит два перпендикуляра к КL⇒ РQ⊥КL

Давай обозначим меньшую проекцию (наклонной, которая 13) на базовую прямую незатейливой буквой х. Тогда вторая проекция (наклонной длины 15) будет по условию х+4. Искомое расстояние от точки  до прямой обозначим букой Н. Тогда по теореме Пифагора образуется два уравнения:

13 ^2 = x^2 + H^2
15^2 = (x+4)^2 + H^2

Имеем два уравнения с двумя неизвестными. Можно решить. Ну так решим же эту систему методами алгебры.

Проще всего сначала будет исключить Н, тогда получим одно уравнение:
15^2 - (x+4)^2 = 13^2 - x^2
225 - x^2 - 8*x - 16 = 169 - x^2
 40 = 8*x
x = 5

То есть первая проекция у нас выходит 5 см, вторая, соответственно, 5+4 = 9 см.

Осталось последнее телодвижение - по теореме Пифагора же находим Н = корень ( 13*13 - 5*5) = корень(144) = 12 см -- это ответ.

Ну, у меня так получилось. Лучше проверь, а то с калькулятором не дружу.

Расстояние от точки до прямой-это перпендикуляр, проведенный из точки к прямой. Значит, образуются два прямоугольных треугольника, у которых один катет равный, гипотенузы-это наклонные, вторые катеты-проекции. Пусть х - проекция меньшей гипотенузы. Тогда по т. Пифагора (расстояние от точки до прямой)^2=13^2-х^2
Проекция другой гипотенузы равны х+4. Тогда (расстояние от точки до прямой)^2 по т. Пифагора 15^2-(х+4)^2. Приравняем и решим получившееся уравнение.
169-х^2=225-х^2-8х-16
8х=40
х=40÷8=5 -меньший катет.
Значит, расстояние от точки до прямой равно=корень (13^2-5^2)=12