Катеты прямоугольного треугольника относятся как 4:5.Длина высоты проведенной к гипотенузе равна 12см. Вычислить радиус описанного круга

1) а)Находим по теореме Пифагора (медиана проведенная к основанию равна биссектрисе и высоте)
 AB^2=BM^2 + AM^2
AM^2=225
AM=15
Основание в два раза больше т.е. 30.
б)cos(A)=AB/AC=17/30.
 В)Сначала ищем площадь по медиане(высоте) и основанию S=120 см^2
 теперь от площади находим высоту к боковой стороне, S=1/2*AB*CM1
CM1=14.11764706=240/17.
   2.
Смотри если мы проведём две высоты слева и справа, у нас по середине будет прямоугольник, у которого та сторона которая равна наименьшему основанию будет равна той стороне, которая является отрезком на большом основании отсеченным двумя высотами, а по бокам от нее отрезки можно найти по теореме Пифагора, затем от наиб. основания отними эти два боковых отрезка и получишь отсеченный, т.е. меньшее основание. 
ABCD-трапеция
BH и CH1-высоты, тогда
AH+HH1+H1D=AD
BC=AD
AH+H1D=Корень(AB^2-BH^2)=6
AD=17-6*2=5
Основание равно 5.

сделаем построение по условию

центры окружностей O и О1 -симметричны относительно стороны АС

значит (ОО1) перпендикулярна (АС)

треугольник АВС - равнобедренный |AB| = |BC| -иначе не будет выполняться условие симметричности ЦЕНТРОВ окружностей

обозначим <BAC=<BCA=<a - это вписанные углы 

По теореме о вписанном угле - ОНИ опирается на дуги, которые в ДВА раза больше их.

Дуга ˘ВС=˘AВ=2a

проведем прямые (AO1) и (AO)

точки ИХ пересечения с описанной окружностью т.С1 и т.С2

треугольник ОАО1 - равнобедренный , прямая (AC) - биссектриса <C1AC2

значит  <C1AC=<C2AC=<a/2 - это вписанные углы 

По теореме о вписанном угле - ОНИ опирается на дуги, которые в ДВА раза больше их.

Дуга ˘СС1=˘СС2=a

Прямая (АС2)  проходит через центр описанной окружности |AC2| - диаметр

Угол <AOC2 - центральный , развернутый (180 град) -опирается на дугу ˘АС2=180 град.

Дуга ˘АС2 состоит из частей  ˘АС2=˘AВ+˘ВС+˘СС2=2a+2a+a=5a=180 , тогда а=180/5=36 град.

<A=<C=<a=36 град

<B=180-<A-<C=180-2*36=108 град

ОТВЕТ углы треугольника 36; 36; 108