4. Вычислите косинус угла ACB треугольника АВС с вершинами А(2, -1), B(3.2), С(7. -2​

6 ед.

Объяснение:

В правильной усеченной пирамиде в основаниях лежат правильные многоугольники, стороны которых соответственно равны между собой. Боковые грани такой пирамиды - равные между собой равнобокие трапеции. Радиусы окружностей, вписанных в основания, проведенные в точки касания сторон оснований с соответственной окружностью Н и Н1, перпендикулярны к сторонам оснований по свойству радиусов, проведенных в точки касания.

Проведем перпендикуляр из точки касания Н1М верхнего основания на нижнее основание. Тогда отрезок Н1Н перпендикулярен стороне основания АВ по теореме о трех перпендикулярах, то есть является искомой высотой боковой грани.

В прямоугольном треугольнике НН1М угол ∠НН1М = 30° по сумме острых углов. Следовательно, НН1 = 2·НМ по свойству катета, лежащего против угла 30°.

НМ = ОН - О1Н1 = 8-5 = 3 ед.

Высота боковой грани НН1 = 6 ед.

ABCD - трапеция.

Проведем СК║АВ, тогда АВСК - параллелограмм (противоположные стороны параллельны), значит

АК = ВС = 14 м      и      СК = АВ = 8 м

KD = AD - AK = 19 - 14 = 5 м

Из треугольника KCD по теореме косинусов найдем углы К и D:

cos∠D = (CD² + KD² - KC²) / (2 · CD · KD)

cos∠D = (36 + 25 - 64) / (2 · 6 · 5) = - 3 / 60 = - 1/20

∠D = arccos(-1/20) = 180° - arccos(1/20) ≈ 180° - 87° ≈ 93°

cos∠CKD = (CK² + KD² - CD²) / (2 · CK · KD)

cos∠CKD = (64 + 25 - 35) / (2 · 8 · 5) = 54/80 = 27/40

∠CKD = arccos(27/40) ≈ 48°

∠BAD = ∠CKD ≈ 48° как соответственные при пересечении параллельных прямых АВ и СК секущей AD.

Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°, поэтому

∠АВС = 180° - ∠BAD ≈ 180° - 48° ≈ 132°

∠BCD = 180° - ∠D ≈ 180° - 93° ≈ 87°