Пусть точки P и Q - середины сторон AB и AC треугольника ABC, соответственно . Докажите, что треуг.АВС~треуг.APQ

Так как точка Р является серединой АВ, а точка Q серединой АС, то РQ – средняя линия треугольника АВС.

Средняя линия параллельна одной из сторон треугольника. Тоесть PQ//BC.

Тогда угол AQP=угол АСВ как соответственные при параллельных прямых PQ u BC и секущей АС;

Угол ВАС – общий;

Тогда ∆АВС~∆APQ по двум углам.

Так как точка Р является серединой АВ, то АР/АВ=1/2, а точка Q серединой АС, то AQ/AC=1/2.

Следовательно: АР/АВ=AQ/AС, тоесть стороны ∆APQ относятся к сторонам ∆АВС в равных отношениях, тоесть стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого;

Угол ВАС – общий;

Тогда ∆АВС~∆APQ по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

дана трапеция ABCD

EM - средняя линия

пересекает диагонали в точках К и N

AC и BD - диагонали

из свойств средней линии трапеции: EM||BC||AD

CM=MD и EM||BC, тогда по теореме Фалеса ( если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне) EM проходит через точку N.

AE=EM и EM||BC, тогда по теореме Фалеса ( если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне) EM проходит через точку K.

Следовательно: AK=CK и DN=BN

можно также доказать через треугольники ABC и DCB - средняя линия трапеции будет средней линией этих треугольников. Средняя линия треугольника делит стороны попалам, значит диагонали пересекаются пополам.

Поскольку диагональ является биссектрисой острого угла, она отсекает от трапеции равнобедренный треугольник со сторонами, равными b, потому что половина угла а равна острому углу при пересечении биссектрисой стороны  b.

Отсюда боковая сторона трапеции равна 10 см. 

Периметр этой трапеции равен сумме оснований и двух равных боковых сторон. 

Р=62+10+2*10=92 см

Только, на мой взгляд, что-то в условии задачи не соответствует трапеции с основаниями 10 и 62. Попробуйте начертить такую трапецию с хотя бы приблизительно такими пропорциями, и поймете, что я имею в виду. Возможно. здесь ошибка и основания равны 100 и 62?

В таком случае периметр будет 

100+2*62=224 см