Каким может быть взаимное расположение прямых а и b, если прямая а лежит в плоскости α, а прямая b параллельна этой плоскости? а) Параллельны или пересекаются; б) скрещиваются или пересекаются; в) параллельны или скрещиваются; г) определить нельзя.

Дано: ABCD - ромб, BD = 24см, AC = 10см;

Знайти: <A, <B, <C, <D;

Рішення.

1) AB = BC = CD = AD, ВО = ½BD, BO = 12 і AO = ½AC AO = 5 (за властивостями ромба), по теоремі Піфагора AB² = BO² + AO², АВ² = 12² + 5², AB² = 169, AB = 13;

2) <A = <B = <C = <D, <ABO = <CBO, <BAO = <DAO (за властивостями ромба), sin ABO = AO / AB,

sin = 5/13, sin ABO≈0.38 <ABO≈68 °, <BAO = 180 ° - <BOA- <ABO, <BAO = 180 ° -90 ° -68 ° = 22 °,

3) <A = 44 °, <B = 136 °, <C = 44 °, <D = 136 °

Відповідь: <A = 44 °, <B = 136 °, <C = 44 °, <D = 136 °.

Даны вершины треугольника A( 3; 7; -4), B( 5; -3; 2), C( 1; 3; -10).      

1) Определяем векторы: АВ(2; -10; 6), ВС(-4; 6; -12) и АС(-2; -4; -6).      

cos B = |-8-60-72|/√(4+100+36)*√(16+36+144) = 110/(√140*√196) =            = 110/165,6502 = 0,84515.        

Угол В = 0,5639 радиан = 32,3115 градуса.      

cos А = |-4+40-36|/√(4+100+36)*√(4+16+36) = 0/(√140*√56) = 0.    

Угол А = (π/2) радиан = 90 градусов.      

cos С = |8-24+72|/√16+36+144)*√(4+16+36) = 56/(√140*√196) =      

= 56/104,766407 = 0,53452.      

Угол С = 1,00685 радиан = 57,6885 градуса.  

2) Находим длины сторон.

Основания А1 3   0    -4

               В1 2    5    -7

               С1 4    2      -1

   

Длины АА1     7  

медиан ВВ1     12,40967365  

        СС1       9,539392014  

   

3) Длины АВ      11,83215957  

   сторон ВС      14  

                АС      7,483314774  

Периметр равен сумме сторон: 33,31547434 .

4) Площадь можно найти двумя

  - по формуле Герона,

  - по модулю векторного произведения.

По Герону:  p     p-a                   p-b                  p-c

16,65773717 2,65773717 9,174422396 4,825577604

Площадь равна √1960  = 44,27188724  кв.ед.