Вравнобедренном треугольнике abc боковые стороны ab и bc равны 5 см, угол abc равен 36 градусов. биссектриса cd треугольника равна 3 см. найдите отношение площади треугольника dbc к площади треугольника abc.

этот замечательный треугольник обладает удивительным свойством - биссектриса cd делит его на два равнобедренных треугольника.

в самом деле, угол вса = (180 - 36)/2 = 72 градуса = угол вас, => угол bcd = 72/2 = 36 градусов, и => сd = bd = 3. на самом деле уже решена   - отношение равно 3/5 - это отношение bd/ab. в самом деле, если обозначить расстояние от точки с до ав, как h, то sabc = ab*h/2, sdbc = bd*h/2, sdbc/sabc = bd/ab = 3/5.

 

но для полноты картины заметим, что угол cda = угол сав + угол bcd = 72 градуса = угол сав, поэтому cd = ac = 3, то есть нам известны все стороны треугольника авс : ) - это 5, 5 и 3. 

в результате мы получаем, что 3/5 = 2/3, что невозможно. поэтому такого треугольника, как указано в , не существует. размеры 5 и 3 противоречат условию, что угол при вершине - 36 градусов. :

поэтому сделаем так - если задана боковая сторона 5, и угол при вершине 36 градусов, сосчитаем величину основания ac, биссектрисы cd и отрезка bd, которые равны между собой. обозначим cd = x. по свойству биссектрисы имеем

x/5 = (5-x)/x; x^2 + 5*x - 25 = 0; отсюда х = 5*(корень(5) - 1)/2.

именно такова длина биссектрисы cd в правильном условии. и отношение   sdbc/sabc = bd/ab в реальности равно  (корень(5) - 1)/2;

справедливости ради стоит отметить, что 5*(корень(5) - 1)/2  примерно равно 3,09016994374947, то есть не сильно отличается от 3. почти как в старом грузинском анекдоте ("ну, 2х2 где-то 7 или 8, но не 49 же")

 

 

попробуем выразить площадь треугольника dbc.

для начала найдем углы при основании равнобедренного треугольника

угол a=углу с= (180-36)/2=72(по теореме о сумме углов треугольника)

найдем угол dbc : т.к cd - биссектриса ,то угол угла с = 36

 

 

найдем отношение площади треугольника dbc к площади треугольника abc.

 

 

                                                     

 

Авсд - р/б трапеция вс=5 ад=11 ас пересек вд =90* ас пересек вд = о s-? решение: 1) рассм тр аод ( уг о=90*), он р/б (ао=од)  по т пифагора найдем ао =  √(121  /  2) = 11√2  /2 2) рассм тр вос (уг о=90*), он р/б (во=ос) по т пифагора найдем ос  =  √(25 / 2) = 5√2   /2 3) ас=ао+ос, ас= (11√2+5√2) / 2 = 8√2 4) рассм тр асн (сн - высота трапеции,⇒уг н =90*) по т пифагора найдем сн,   сн=√(128-64) =  √64=8 5) s(abcd)= (bc+ad) / 2 * ch       s(abcd) = (5+11)/2 * 8 = 8*8= 64 кв ед

Пусть одна сторона прямоугольника и параллелограмма равна a, другая b,   h- высота  параллелограмма, то площадь прямоугольника равна а*в, площадь параллелограмма равна а*h,   значит  по условию ав=2вh, отсюда h=а/2 треугольник,  образованном высотой и стороной параллелограмма-прямоугольный, высота-это катет, сторона а-гипотенуза, катет =1/2 гипотенузы, значит он лежит против угла в 30 гр.⇒меньший угол параллелограмма= 30 гр, соответственно больший равен  180-30=150 гр.