Стороны ac, ab, bc треугольника abc равны 3√2, √14 и 1 соответственно. точка к располагается вне треугольника abc, прием отрезок kc пересекает сторону ab в точке, отличной от b. известно, что треугольник с вершинами k, a и cподобен исходному. найдите косинус угла akc? если угол kac > 90 градусов

Показалась мне интересной, и я её немного обобщил. пусть вписанная окружность делит медиану, проведенную из вершины прямого угла к гипотенузе, в отношении к: (1 - к). в условии к = 2/3.обозначим a и b - катеты, с - гипотенуза, r - радиус вписанной окружности.  проще всего составить необходимые уравнения, воспользовавшись уравнением окружности. далее я покажу, как эти соотношения элементарно получаются и без координатных методов.  расположим катеты вдоль координатных осей так, что вершина прямого угла   - вначале координат (0,0), а вершины гипотенузы - в точках (а,0) и (0,b). тогда точка пересечения к медианы и вписанной окружности (их 2, нас интересует, очевидно, та, что ближе к гипотенузе) лежит на прямой y = (b/a)*x; основание медианы - это середина гипотенузы, то есть точка с координатами (a/2,b/2), а координаты точки к (k*a/2; k*b/2) (в условии это (a/3,b/3))уравнение вписанной окружности(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2; кроме того, есть известное соотношение в прямоугольном треугольникеa + b - c = 2*r; подставим (x,y) =  (k*a/2; k*b/2) в уравнение окружности.(k*a/2 - r)^2 + (k*b/2 - r)^2 = r^2; (на самом деле это соотношение для точки к можно выписать сразу, исходя из теоремы пифагора, а все предыдущие "методические" приемы просто опустить : ) достаточно построить прямоугольный треугольник, проведя радиус из центра вписанной окружности о в точку к, и прямые ii катетам исходного тр-ка из концов этого радиуса (то есть из точек о и к) до пересечения. полученные катеты этого треугольника очевидно равны (k*a/2 - r) и (k*b/2 - r), - в условии (a/3 - r) и (b/3 - r),  а гипотенуза - r)имеем далееk^2*(a^2 + b^2)/4 - k*(a + b)*r +r^2 = 0; подставим a + b = 2*r + c; a^2 + b^2 = c^2; k^2*c^2/4 - k*r*(2*r + c) +r^2 = 0;   r^2*(1-2*k) - k*c*r + (k^2/4)*c^2 = 0;   теперь введем x = r/c.x^2*(1-2*k) - k*x + (k^2/4) = 0; x^2 + x*k/(2*k - 1) - k^2/(4*(2k-1)) = 0; x = -  k/(2*(2*k - 1)) + корень((k/(2*(2*k - +  k^2/(4*(2k- =  = -  k/(2*(2*k - 1)) + k/(2*(2*k - 1))*корень(1 + (2k-1)); но только если k > 1/2. вот именно для этого я и обозначил k = 2/3.  если k < 1/2, решения нет. ну, в это выполнено - k = 2/3 > 1/2. замечу также, что второй корень отрицательный, поэтому отброшен.)x =  k/(2*(2*k - (2*k) - 1); в частности при k = 2/3, как в , x = 2*корень(3)/3 -1; таким образом, мы нашли r/c = x =  2*корень(3)/3 -1; дальше ищем углы в этом случае.  поскольку a/c + b/c = 2*(r/c) + 1; тоsin(a) + cos(a) = 4*корень(3)/3 -1; это уравнение для а решается легко - достаточно возвести в квадрат обе стороны: ))1 + sin(2*a) = (4*корень(3)/3 -1)^2; sin(2*a) = (2 - корень(3))*8/3; a = (1/2)*arcsin((2 - корень(3))*8/3); это можно считать ответом. приближенно  sin(2*a) =  0,714531179816328. интересно, что 2*а получилось почти точно 45 градусов, точнее 2*а =  45,6047908137106 градусов.  вернусь еще раз к . решение в сжатом виде при k = 2/3. всё, что надо понять - что расстояния от точки пересечения медиан до катетов равны a/3 и b/3 - и сразу получается соотношение.(a/3 - r)^2 + (b/3 - r)^2 = r^2;   (a^2 + b^2)/9 - 2*r*(a + b)/3 + r^2 = 0; подставим a + b = 2*r + c; a^2 + b^2 = c^2; c^2/9 - 2*r*(2*r + c) + r^2 = 0; r^2 + 2*r*c - c^2/3 = 0; обозначаем r/c = x; x^2 + 2*x - 1/3 = 0; (x+1)^2 = 4/3; x = 2*корень(3)/3 -1; поскольку a/c + b/c = 2*(r/c) + 1; тоsin(a) + cos(a) = 4*корень(3)/3 -1; возводим в квадрат обе стороны1 + sin(2*a) = (4*корень(3)/3 -1)^2; sin(2*a) = (2 - корень(3))*8/3; a = (1/2)*arcsin((2 - корень(3))*8/3);  

Равнобедренный прямоугольный  треугольник - это прямоугольный треугольник у которого катеты равны. как мы знаем, площадь прямоугольного треугольника находится так:   однако катеты равны, поэтому: получаем: мы получили 2 случая, когда катеты равны (-6) и когда катеты равны 6. но мы знаем, что в не бывает отрицательных сторон, поэтому есть только 1 вариант, когда катеты равны 6. теперь по теореме пифагора найдем гипотенузу: - в нашем случае это так. ответ: гипотенуза равнобедренного треугольника с площадью 18кв.см равна  см.