Найдите длину отрезка am и градусную меру угла abk, если bm – медиана, а bk – биссектриса треугольника abc и известно, что ac = 17 см, угол abc равен 84° . ​

пусть дана равнобедренная трапеция авсd. из условия ясно, что точка м проецируется в центр о вписанной в трапецию окружности, так как расстояние от точки м до стороны - это перпендикуляр из точки м к стороне, а радиус вписанной окружности - перпендикуляр из точки о на плоскости трапеции к ее стороне. основания этих перпендикуляров находятся в одной точке по теореме о трех перпендикулярах. диаметр вписанной в нашу трапецию окружности пройдет через середины ее оснований, значит боковая сторона трапеции будет равна сумме двух отрезков: половин большего и меньшего оснований, так как касательные из одной точки к окружности равны, то ар=ан и вр=вn (см. рисунок). но ор - это высота из прямого угла   треугольника аов (боковая сторона видна под углом 90° из центра вписанной окружности   - свойство). и по ее свойству равна ор = √(ар*вр) = √(2*4,5) = 3 ед. тогда по пифагору из прямоугольного треугольника мор найдем искомое расстояние мо.

мо=√(мр²-ор²) = √(5²-3²) = 4 ед.   это ответ.

пусть треугольники abc и a1b1c1 такие, что ab=a1b1, ac=a1c1, bc=b1c1. требуется доказать, что треугольники равны.

допустим, что треугольники не равны. тогда ∠ a ≠ ∠ a1, ∠ b ≠ ∠ b1, ∠ c ≠ ∠ c1 одновременно. иначе треугольники были бы равны по первому признаку.

пусть треугольник a1b1c2 – треугольник, равный треугольнику abc, у которого вершина с2 лежит в одной полуплоскости с вершиной с1 относительно прямой a1b1.

пусть d – середина отрезка с1с2. треугольники a1c1c2 и b1c1c2 равнобедренные с общим основанием с1с2. поэтому их медианы a1d и b1d являются высотами. значит, прямые a1d и b1d перпендикулярны прямой с1с2. прямые a1d и b1d не , так как точки a1, b1, d не лежат на одной прямой. но через точку d прямой с1с2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. мы пришли к противоречию. теорема доказана.