Из вершины прямого угла с треугольника авс проведена высота ср. радиус окружности, вписанной в треугольник вср, равен 8, тангенс угла вас равен 4\3. найдите радиус вписанной окружности треугольника авс.

1) tgbac=3/4=bc/ac => bc=3x, ac=4xab=(ac^2+bc^2)^0.5=5x

 

2) sδabc = 0.5*ac*bc=6x^2sδabc = 0.5*ab*cp=2.5x*cp6x^2=2.5x*cp; cp = 2.4x3)bp=(bc^2-cp^2)^0.5=1.8x4) bcd: r=0.5(cp+bp-cb)=0.5(1.8x-2,4x-3x)=8; x=40/35) abc: r=0.5(ac+bc-ab)=0.5*40/3(4+3-5)=40/3=13⅓ответ: 13⅓ 

Положим что z середина стороны bc . 1)тогда по теореме менелая для треугольника pzm секущая ac получаем cz/pc*pl/ml*am/az=1 , но az медиана , значит am/az=3/2, откуда pl=3ml*pc/(2cz) , значит pm=pl+ml=ml*(3pc+2cz)/(2cz) (*1) 2)по теореме менелая для треугольника bkp секущая az получаем bz/pz*pm/mk*ak/ab=1 либо , что тоже самое что cz/(pc+cz) * pm/mk * ak/ab = 1 откуда mk=pm*(cz/(pc+cz))*(ak/ab) (*2) выразим соотношение ak/ab через pc и cz . 3) по той же теореме для треугольника abc , секущая pk получаем bk/ak * (al/cl) * (pc/(pc+2cz)) = 1 . но (1/2)*(al/cl)*pc/(pc+cz)=1 (теорема менелая для треугольника acz) откуда al/cl=2(pc+cz)/pc . значит bk/ak=(pc+2cz)/(2pc+2cz) , откуда ak/ab=2(pc+cz)/(3pc+4cz) . 4) подставляя (*2) получаем mk=ml(3pc+2cz)/(3pc+4cz) (*3) 5) из (*1) а именно pm=ml*(3pc+2cz)/(2cz) по условию требуется доказать что 1/ml+1/mp=1/mk подставим 1/ml+2cz/(ml*(3pc+2cz)) = (3pc+4cz)/(ml*(3pc+2cz))= 1/mk откуда mk=ml(3pc+2cz)/(3pc+4cz) а это и есть (*3) доказанная ранее.

Чтобы выполнялось условие < bed=2< асв, построим на вершине с угол всf, равный двум углам с треугольника авс. проводя прямые параллельно прямой сf, мы видим, что если треугольник авс равнобедренный с основанием ас, то условие не может быть выполнено, поскольку прямая еd будет параллельна стороне вс треугольника при любом положении точки е на стороне вс и точка d будет лежать на продолжении стороны ав, а не на стороне, как дано в условии. значит < a должен быть больше < c. но в любом случае по теореме о неравенстве треугольника в треугольнике аес ас+ес> ae. остается доказать, что ad ≤ ae. рассмотрим остроугольный треугольник авс. продолжим прямую еd до пересечения с прямой са в точке р. угол а треугольника острый, значит угол  раd - тупой, а угол аdе - еще (как внешний угол, равный сумме двух внутренних, не смежных с ним. в треугольнике аdе тупым может быть только один угол и он - больший. против большего угла лежит большая сторона. значит ае> ad и ас+ес> ad, что и требовалось доказать. p.s. можно отметить, что при < a=90° решение будет таким же, так как < ade> 90°, а если < a> 90°, то возможен случай, когда ad> ae.